Область определения функции: \(x\,\, \in \,\,R.\)
Найдем производную заданной функции: \(y’ = — 12\sin x + 6\sqrt 3 .\)
Найдем нули производной на заданном отрезке \(\left[ {0;\dfrac{\pi }{2}} \right]\).
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ — 12\sin x + 6\sqrt 3 = 0}\\{0 \le x \le \dfrac{\pi }{2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin x = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}}\\{0 \le x \le \dfrac{\pi }{2}}\end{array}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,x = \dfrac{\pi }{3}.} \right.\)
Определим знаки производной функции на заданном отрезке \(\left[ {0;\dfrac{\pi }{2}} \right]\) и ее поведение:
Следовательно, наибольшее значение заданной функции на отрезке \(\left[ {0;\dfrac{\pi }{2}} \right]\) будет в точке \(x = \dfrac{\pi }{3}\).
\(y\left( {\dfrac{\pi }{3}} \right) = 12\cos \dfrac{\pi }{3} + 6\sqrt 3 \cdot \dfrac{\pi }{3} — 2\sqrt 3 \cdot \pi + 6 = 12 \cdot \dfrac{1}{2} + 2\sqrt 3 \pi — 2\sqrt 3 \pi + 6 = 12.\)
Ответ: 12.