Задача 1. Найдите наибольшее значение функции \(y = 12\cos x + 6\sqrt 3 \cdot x — 2\sqrt 3 \;\pi + 6\) на отрезке \(\left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right]\)
Область определения функции: \(x\,\, \in \,\,R.\) Найдем производную заданной функции: \(y’ = — 12\sin x + 6\sqrt 3 .\) Найдем нули производной на заданном отрезке \(\left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right]\). \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ — 12\sin x + 6\sqrt 3 = 0}\\{0 \le x \le \frac{\pi }{2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin x = \frac{{\sqrt 3 }}{2}}\\{0 \le x \le \frac{\pi }{2}}\end{array}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,x = \frac{\pi }{3}.} \right.\) Определим знаки производной функции на заданном отрезке \(\left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right]\) и ее поведение: Следовательно, наибольшее значение заданной функции на отрезке \(\left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right]\) будет в точке \(x = \frac{\pi }{3}\). \(y\left( {\frac{\pi }{3}} \right) = 12\cos \frac{\pi }{3} + 6\sqrt 3 \cdot \frac{\pi }{3} — 2\sqrt 3 \cdot \pi + 6 = 12 \cdot \frac{1}{2} + 2\sqrt 3 \pi — 2\sqrt 3 \pi + 6 = 12.\) Ответ: 12.