Задача 10. Найдите наименьшее значение функции   \(y = 3\sin x + \frac{{30}}{\pi }x + 3\)   на отрезке   \(\left[ { — \frac{{5\pi }}{6};0} \right]\)

Ответ

ОТВЕТ: — 23,5.

Решение

Область определения функции:  \(x\,\, \in \,\,R.\)

Найдем производную заданной функции:   \(y’ = 3\cos x + \frac{{30}}{\pi }.\)

Видно, что  \(y’ = 3\cos x + \frac{{30}}{\pi } > 0\)  при  \(x\,\, \in \,\,R\), так как  \(\cos x\,\, \in \,\,\left[ { — 1;1} \right].\)

Следовательно, заданная функция является возрастающей, и наименьшее значение на отрезке \(\left[ { — \frac{{5\pi }}{6};0} \right]\) будет принимать в точке \(x =  — \frac{{5\pi }}{6}\).

\(y\left( { — \frac{{5\pi }}{6}} \right) = 3\sin \left( { — \frac{{5\pi }}{6}} \right) + \frac{{30}}{\pi } \cdot \left( { — \frac{{5\pi }}{6}} \right) + 3 = 3 \cdot \left( { — \frac{1}{2}} \right) — 25 + 3 =  — 23,5.\)

Ответ:  – 23,5.