ЕГЭ профильный уровень. №12 Тригонометрические функции. Задача 10math100admin44242023-09-15T21:19:05+03:00
Задача 10. Найдите наименьшее значение функции \(y = 3\sin x + \frac{{30}}{\pi }x + 3\) на отрезке \(\left[ { — \frac{{5\pi }}{6};0} \right]\)
Решение
Область определения функции: \(x\,\, \in \,\,R.\)
Найдем производную заданной функции: \(y’ = 3\cos x + \frac{{30}}{\pi }.\)
Видно, что \(y’ = 3\cos x + \frac{{30}}{\pi } > 0\) при \(x\,\, \in \,\,R\), так как \(\cos x\,\, \in \,\,\left[ { — 1;1} \right].\)
Следовательно, заданная функция является возрастающей, и наименьшее значение на отрезке \(\left[ { — \frac{{5\pi }}{6};0} \right]\) будет принимать в точке \(x = — \frac{{5\pi }}{6}\).
\(y\left( { — \frac{{5\pi }}{6}} \right) = 3\sin \left( { — \frac{{5\pi }}{6}} \right) + \frac{{30}}{\pi } \cdot \left( { — \frac{{5\pi }}{6}} \right) + 3 = 3 \cdot \left( { — \frac{1}{2}} \right) — 25 + 3 = — 23,5.\)
Ответ: – 23,5.