Область определения функции: \(\cos \ne 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,x \ne \frac{\pi }{2} + \pi k,\,\,\,\,\,\,\,k\, \in \,z.\)
Найдем производную заданной функции:
\(y’ = \frac{5}{{{{\cos }^2}x}} — 5 = \frac{{5 — 5{{\cos }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}} = \frac{{5\left( {1 — {{\cos }^2}x} \right)}}{{{{\cos }^2}x}} = \frac{{5{{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}} = 5{\rm{t}}{{\rm{g}}^2}x.\)
Видно, что \(y’ = 5{\rm{t}}{{\rm{g}}^2}x \ge 0\) при \(x\,\, \in \,\,\left[ {0;\frac{\pi }{4}} \right]\).
Следовательно, заданная функция является возрастающей, и наименьшее значение на отрезке \(\left[ {0;\frac{\pi }{4}} \right]\) будет принимать в точке \(x = 0\).
\(y\left( 0 \right) = 5\,{\rm{tg}}\,0 — 5 \cdot 0 + 6 = 6.\)
Ответ: 6.