Область определения функции: \(\cos \ne 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,x \ne \frac{\pi }{2} + \pi k,\,\,\,\,\,\,\,k\, \in \,z.\)
Найдем производную заданной функции:
\(y’ = \frac{{16}}{{{{\cos }^2}x}} — 16 = \frac{{16 — 16{{\cos }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}} = \frac{{16\left( {1 — {{\cos }^2}x} \right)}}{{{{\cos }^2}x}} = \frac{{16{{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}} = 16{\rm{t}}{{\rm{g}}^2}x.\)
Видно, что \(y’ = 16{\rm{t}}{{\rm{g}}^2}x \ge 0\) при \(x\,\, \in \,\,\left[ { — \frac{\pi }{4};\frac{\pi }{4}} \right]\).
Следовательно, заданная функция является возрастающей, и наибольшее значение на отрезке \(\left[ { — \frac{\pi }{4};\frac{\pi }{4}} \right]\) будет принимать в точке \(x = \frac{\pi }{4}\).
\(y\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = 16{\rm{tg}}\frac{\pi }{4} — 16 \cdot \frac{\pi }{4} + 4\pi — 5 = 16 — 4\pi + 4\pi — 5 = 11.\)
Ответ: 11.