Область определения функции: \(\cos \ne 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,x \ne \frac{\pi }{2} + \pi k,\,\,\,\,\,\,\,k\, \in \,z.\)
Найдем производную заданной функции:
\(y’ = \frac{{36}}{{{{\cos }^2}x}} — 36 = \frac{{36 — 36{{\cos }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}} = \frac{{36\left( {1 — {{\cos }^2}x} \right)}}{{{{\cos }^2}x}} = \frac{{36{{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}} = 36{\rm{t}}{{\rm{g}}^2}x.\)
Видно, что \(y’ = 36{\rm{t}}{{\rm{g}}^2}x \ge 0\) при \(x\,\, \in \,\,\left[ { — \frac{\pi }{4};\frac{\pi }{4}} \right]\).
Следовательно, заданная функция является возрастающей, и наименьшее значение на отрезке \(\left[ { — \frac{\pi }{4};\frac{\pi }{4}} \right]\) будет принимать в точке \(x = — \frac{\pi }{4}\).
\(y\left( { — \frac{\pi }{4}} \right) = 36{\rm{tg}}\left( { — \frac{\pi }{4}} \right) — 36 \cdot \left( { — \frac{\pi }{4}} \right) — 9\pi + 7 = — 36 + 9\pi — 9\pi + 7 = — 29.\)
Ответ: – 29.