Область определения функции: \(\cos \ne 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,x \ne \frac{\pi }{2} + \pi k,\,\,\,\,\,\,\,k\, \in \,z.\)
Найдем производную заданной функции:
\(y’ = 31 — \frac{{31}}{{{{\cos }^2}x}} = \frac{{31{{\cos }^2}x — 31}}{{{{\cos }^2}x}} = \frac{{ — 31\left( {1 — {{\cos }^2}x} \right)}}{{{{\cos }^2}x}} = \frac{{ — 31{{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}} = — 31{\rm{t}}{{\rm{g}}^2}x.\)
Видно, что \(y’ = — 31{\rm{t}}{{\rm{g}}^2}x \le 0\) при \(x\,\, \in \,\,\left[ { — \frac{\pi }{4};0} \right]\).
Следовательно, заданная функция является убывающей, и наименьшее значение на отрезке \(\left[ { — \frac{\pi }{4};0} \right]\) будет принимать в точке \(x = 0\).
\(y\left( 0 \right) = 31 \cdot 0 — 31\,{\rm{tg}}\,0 + 13 = 13.\)
Ответ: 13.