Задача 17. Найдите наименьшее значение функции   \(y = 6{\text{tg}}\,x — 12x + 3\pi  — 13\)   на   отрезке \(\left[ { — \frac{\pi }{3};\frac{\pi }{3}} \right]\)

Ответ

ОТВЕТ: — 7.

Решение

Область определения функции:  \(\cos  \ne 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,x \ne \frac{\pi }{2} + \pi k,\,\,\,\,\,\,\,k\, \in \,z.\)

Найдем производную заданной функции:    \(y’ = \frac{6}{{{{\cos }^2}x}} — 12.\)

Найдем нули производной на заданном отрезке  \(\left[ { — \frac{\pi }{3};\frac{\pi }{3}} \right]\), воспользовавшись формулой понижения степени:  \({\cos ^2}x = \frac{{1 + \cos 2x}}{2}\).

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{6}{{{{\cos }^2}x}} — 12 = 0}\\{ — \frac{\pi }{3} \le x \le \frac{\pi }{3}}\end{array}} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\cos }^2}x = \frac{1}{2}}\\{ — \frac{\pi }{3} \le x \le \frac{\pi }{3}}\end{array}} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{1 + \cos 2x}}{2} = \frac{1}{2}}\\{ — \frac{\pi }{3} \le x \le \frac{\pi }{3}}\end{array}} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos 2x = 0}\\{ — \frac{\pi }{3} \le x \le \frac{\pi }{3}}\end{array}\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{\pi }{4} + \frac{{\pi k}}{2},\,\,\,k\, \in \,z}\\{ — \frac{\pi }{3} \le x \le \frac{\pi }{3}}\end{array}} \right.} \right.\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,x =  — \frac{\pi }{4},\,\,\,\,\,\,\,\,x = \frac{\pi }{4}.\)

Определим знаки производной функции на заданном отрезке \(\left[ { — \frac{\pi }{3};\frac{\pi }{3}} \right]\) и ее поведение:

Следовательно, наименьшее значение заданной функции на отрезке \(\left[ { — \frac{\pi }{3};\frac{\pi }{3}} \right]\) будет в точках  \(x =  — \frac{\pi }{3}\)  или  \(x = \frac{\pi }{4}\).

\(y\left( { — \frac{\pi }{3}} \right) = 6\,{\rm{tg}}\left( { — \frac{\pi }{3}} \right) — 12\left( { — \frac{\pi }{3}} \right) + 3\pi  — 13 =  — 6\sqrt 3  + 7\pi  — 13;\)

\(y\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = 6\,{\rm{tg}}\,\frac{\pi }{4} — 12 \cdot \frac{\pi }{4} + 3\pi  — 13 =  — 7.\)

Так как  \( — 7 <  — 6\sqrt 3  + 7\pi  — 13\), то наименьшее значение равно \( — 7\).

Ответ:  – 7.