Задача 2. Найдите наименьшее значение функции \(y = 11 + \frac{{7\sqrt 3 \;\pi }}{{18}} — \frac{{7\sqrt 3 }}{3}x — \frac{{14\sqrt 3 }}{3}\cos x\) на отрезке \(\left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right]\)
Область определения функции: \(x\,\, \in \,\,R.\) Найдем производную заданной функции: \(y’ = — \frac{{7\sqrt 3 }}{3} + \frac{{14\sqrt 3 }}{3}\sin x.\) Найдем нули производной на заданном отрезке \(\left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right]\). \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ — \frac{{7\sqrt 3 }}{3} + \frac{{14\sqrt 3 }}{3}\sin x = 0}\\{0 \le x \le \frac{\pi }{2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin x = \frac{1}{2}}\\{0 \le x \le \frac{\pi }{2}}\end{array}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,x = \frac{\pi }{6}.} \right.\) Определим знаки производной функции на заданном отрезке \(\left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right]\) и ее поведение: Следовательно, наименьшее значение заданной функции на отрезке \(\left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right]\) будет в точке \(x = \frac{\pi }{6}\). \(y\left( {\frac{\pi }{6}} \right) = 11 + \frac{{7\sqrt 3 \pi }}{{18}} — \frac{{7\sqrt 3 }}{3} \cdot \frac{\pi }{6} — \frac{{14\sqrt 3 }}{3}\cos \frac{\pi }{6} = 11 + \frac{{7\sqrt 3 \pi }}{{18}} — \frac{{7\sqrt 3 \pi }}{{18}} — 14\frac{{\sqrt 3 }}{3} \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{2} = 4.\) Ответ: 4.