Задача 20. Найдите наименьшее значение функции   \(y = 15x — 10\sin x — 11\)   на отрезке   \(\left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right]\)

Ответ

ОТВЕТ: — 11.

Решение

Область определения функции:  \(x\,\, \in \,\,R.\)

Найдем производную заданной функции:    \(y’ = 15 — 10\cos x.\)

Видно, что  \(y’ = 15 — 10\cos x > 0\)  при  \(x\,\, \in \,\,R\), так как \(\cos x\,\, \in \,\,\left[ { — 1;1} \right].\)

Следовательно, заданная функция является возрастающей, и наименьшее значение на отрезке \(\left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right]\) будет принимать в точке \(x = 0\).

\(y\left( 0 \right) = 15 \cdot 0 — 10\sin 0 — 11 =  — 11.\)

Ответ:  – 11.