Задача 21. Найдите точку минимума функции \(y = \left( {0,5 — x} \right)\cos x + \sin x\) принадлежащую промежутку \(\left( {0;\;\frac{\pi }{2}} \right)\)
Область определения функции: \(x\,\, \in \,\,R.\) Найдем производную заданной функции: \(y’ = {\left( {0,5 — x} \right)^\prime }\cos x + \left( {0,5 — x} \right){\left( {\cos x} \right)^\prime } + {\left( {\sin x} \right)^\prime } = — \cos x — \left( {0,5 — x} \right)\sin x + \cos x = \left( {x — 0,5} \right)\sin x.\) Найдем нули производной при \(x\, \in \,\left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\). \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left( {x — 0,5} \right)\sin x = 0}\\{0 < x < \frac{\pi }{2}}\end{array}} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x — 0,5 = 0}\\{0 < x < \frac{\pi }{2}}\end{array}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,x = 0,5.} \right.\) Проверим знаки производной и ее поведение при \(x\, \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\). Следовательно, точка минимума \(x = 0,5\). Ответ: 0,5.