Область определения функции: \(x\,\, \in \,\,R.\)
Найдем производную заданной функции:
\(y’ = {\left( {0,5 — x} \right)^\prime }\cos x + \left( {0,5 — x} \right){\left( {\cos x} \right)^\prime } + {\left( {\sin x} \right)^\prime } = — \cos x — \left( {0,5 — x} \right)\sin x + \cos x = \left( {x — 0,5} \right)\sin x.\)
Найдем нули производной при \(x\, \in \,\left( {0;\dfrac{\pi }{2}} \right)\).
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left( {x — 0,5} \right)\sin x = 0}\\{0 < x < \dfrac{\pi }{2}}\end{array}} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x — 0,5 = 0}\\{0 < x < \dfrac{\pi }{2}}\end{array}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,x = 0,5.} \right.\)
Проверим знаки производной и ее поведение при \(x\, \in \left( {0;\dfrac{\pi }{2}} \right)\).
Следовательно, точка минимума \(x = 0,5\).
Ответ: 0,5.