Задача 22. Найдите точку максимума функции \(y = \left( {2x — 3} \right)\cos x — 2\sin x + 5\) принадлежащую промежутку \(\left( {0;\;\frac{\pi }{2}} \right)\)
Область определения функции: \(x\,\, \in \,\,R.\) Найдем производную заданной функции: \(y’ = {\left( {2x — 3} \right)^\prime }\cos x + \left( {2x — 3} \right){\left( {\cos x} \right)^\prime } — {\left( {2\sin x} \right)^\prime } = 2\cos x — \left( {2x — 3} \right)\sin x — 2\cos x = \left( {3 — 2x} \right)\sin x.\) Найдем нули производной при \(x\, \in \,\left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\). \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left( {3 — 2x} \right)\sin x = 0}\\{0 < x < \frac{\pi }{2}}\end{array}} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{3 — 2x = 0}\\{0 < x < \frac{\pi }{2}}\end{array}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,x = 1,5.} \right.\) Проверим знаки производной и ее поведение при \(x\, \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\). Следовательно, точка максимума \(x = 1,5\). Ответ: 1,5.