Задача 23. Найдите наибольшее значение функции \(y = — 2{\text{tg}}\,x + 4x — \pi — 3\) на отрезке \(\left[ { — \frac{\pi }{3};\frac{\pi }{3}} \right]\)
Область определения функции: \(\cos \ne 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,x \ne \frac{\pi }{2} + \pi k,\,\,\,\,\,\,\,k\, \in \,z.\) Найдем производную заданной функции: \(y’ = — \frac{2}{{{{\cos }^2}x}} + 4.\) Найдем нули производной на заданном отрезке \(\left[ { — \frac{\pi }{3};\frac{\pi }{3}} \right]\), воспользовавшись формулой понижения степени: \({\cos ^2}x = \frac{{1 + \cos 2x}}{2}\). \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ — \frac{2}{{{{\cos }^2}x}} + 4 = 0}\\{ — \frac{\pi }{3} \le x \le \frac{\pi }{3}}\end{array}} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\cos }^2}x = \frac{1}{2}}\\{ — \frac{\pi }{3} \le x \le \frac{\pi }{3}}\end{array}} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{1 + \cos 2x}}{2} = \frac{1}{2}}\\{ — \frac{\pi }{3} \le x \le \frac{\pi }{3}}\end{array}} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos 2x = 0}\\{ — \frac{\pi }{3} \le x \le \frac{\pi }{3}}\end{array}\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{\pi }{4} + \frac{{\pi k}}{2},\,\,\,k\, \in \,z}\\{ — \frac{\pi }{3} \le x \le \frac{\pi }{3}}\end{array}} \right.} \right.\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,x = — \frac{\pi }{4},\,\,\,\,\,\,\,\,x = \frac{\pi }{4}.\) Определим знаки производной функции на заданном отрезке \(\left[ { — \frac{\pi }{3};\frac{\pi }{3}} \right]\) и ее поведение: Следовательно, наибольшее значение заданной функции на отрезке \(\left[ { — \frac{\pi }{3};\frac{\pi }{3}} \right]\) будет в точках \(x = — \frac{\pi }{3}\) или \(x = \frac{\pi }{4}\). \(y\left( { — \frac{\pi }{3}} \right) = — 2\,{\rm{tg}}\left( { — \frac{\pi }{3}} \right) + 4 \cdot \left( { — \frac{\pi }{3}} \right) — \pi — 3 = 2\sqrt 3 — \frac{{7\pi }}{3} — 3;\) \(y\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = — 2\,{\rm{tg}}\frac{\pi }{4} + 4 \cdot \frac{\pi }{4} — \pi — 3 = — 2 — 3 = — 5.\) Так как \( — 5 > 2\sqrt 3 — \frac{{7\pi }}{3} — 3\), то наибольшее значение равно – 5. Ответ: – 5.