Область определения функции: \(\cos \ne 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,x \ne \dfrac{\pi }{2} + \pi k,\,\,\,\,\,\,\,k\, \in \,Z.\)
Найдем производную заданной функции: \(y’ = — 14 + \dfrac{7}{{{{\cos }^2}x}}.\)
Найдем нули производной на заданном отрезке \(\left[ { — \dfrac{\pi }{3};\dfrac{\pi }{3}} \right]\), воспользовавшись формулой понижения степени: \({\cos ^2}x = \dfrac{{1 + \cos 2x}}{2}\).
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ — 14 + \dfrac{7}{{{{\cos }^2}x}} = 0}\\{ — \dfrac{\pi }{3} \le x \le \dfrac{\pi }{3}}\end{array}} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\cos }^2}x = \dfrac{1}{2}}\\{ — \dfrac{\pi }{3} \le x \le \dfrac{\pi }{3}}\end{array}} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\dfrac{{1 + \cos 2x}}{2} = \dfrac{1}{2}}\\{ — \dfrac{\pi }{3} \le x \le \dfrac{\pi }{3}}\end{array}} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos 2x = 0}\\{ — \dfrac{\pi }{3} \le x \le \dfrac{\pi }{3}}\end{array}\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \dfrac{\pi }{4} + \dfrac{{\pi n}}{2},\,\,\,n\, \in \,Z}\\{ — \dfrac{\pi }{3} \le x \le \dfrac{\pi }{3}}\end{array}} \right.} \right.\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,x = — \dfrac{\pi }{4},\,\,\,\,\,\,\,\,x = \dfrac{\pi }{4}.\)
Определим знаки производной функции на заданном отрезке \(\left[ { — \dfrac{\pi }{3};\dfrac{\pi }{3}} \right]\) и ее поведение:
Следовательно, наименьшее значение заданной функции на отрезке \(\left[ { — \dfrac{\pi }{3};\dfrac{\pi }{3}} \right]\) будет в точках \(x = — \dfrac{\pi }{3}\) или \(x = \dfrac{\pi }{4}\).
\(y\left( { — \dfrac{\pi }{3}} \right) = — 14 \cdot \left( { — \dfrac{\pi }{3}} \right) + 7\,{\rm{tg}}\left( { — \dfrac{\pi }{3}} \right) + \dfrac{{7\pi }}{2} + 11 = \dfrac{{49\pi }}{6} — 7\sqrt 3 + 11;\)
\(y\left( {\dfrac{\pi }{4}} \right) = — 14 \cdot \dfrac{\pi }{4} + 7\,{\rm{tg}}\dfrac{\pi }{4} + \dfrac{{7\pi }}{2} + 11 = 7 + 11 = 18.\)
Так как \(18 < \dfrac{{49\pi }}{6} — 7\sqrt 3 + 11\), то наименьшее значение равно 18.
Ответ: 18.