Задача 24. Найдите наименьшее значение функции \(y =  — 14x + 7{\text{tg}}\,x + \frac{{7\pi }}{2} + 11\)    на отрезке   \(\left[ { — \frac{\pi }{3};\frac{\pi }{3}} \right]\)

Ответ

ОТВЕТ: 18.

Решение

Область определения функции:  \(\cos  \ne 0\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,x \ne \frac{\pi }{2} + \pi k,\,\,\,\,\,\,\,k\, \in \,z.\)

Найдем производную заданной функции:    \(y’ =  — 14 + \frac{7}{{{{\cos }^2}x}}.\)

Найдем нули производной на заданном отрезке  \(\left[ { — \frac{\pi }{3};\frac{\pi }{3}} \right]\), воспользовавшись формулой понижения степени:  \({\cos ^2}x = \frac{{1 + \cos 2x}}{2}\).

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ — 14 + \frac{7}{{{{\cos }^2}x}} = 0}\\{ — \frac{\pi }{3} \le x \le \frac{\pi }{3}}\end{array}} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\cos }^2}x = \frac{1}{2}}\\{ — \frac{\pi }{3} \le x \le \frac{\pi }{3}}\end{array}} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{1 + \cos 2x}}{2} = \frac{1}{2}}\\{ — \frac{\pi }{3} \le x \le \frac{\pi }{3}}\end{array}} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos 2x = 0}\\{ — \frac{\pi }{3} \le x \le \frac{\pi }{3}}\end{array}\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{\pi }{4} + \frac{{\pi k}}{2},\,\,\,k\, \in \,z}\\{ — \frac{\pi }{3} \le x \le \frac{\pi }{3}}\end{array}} \right.} \right.\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,x =  — \frac{\pi }{4},\,\,\,\,\,\,\,\,x = \frac{\pi }{4}.\)

Определим знаки производной функции на заданном отрезке \(\left[ { — \frac{\pi }{3};\frac{\pi }{3}} \right]\) и ее поведение:

Следовательно, наименьшее значение заданной функции на отрезке \(\left[ { — \frac{\pi }{3};\frac{\pi }{3}} \right]\) будет в точках  \(x =  — \frac{\pi }{3}\)  или  \(x = \frac{\pi }{4}\).

\(y\left( { — \frac{\pi }{3}} \right) =  — 14 \cdot \left( { — \frac{\pi }{3}} \right) + 7\,{\rm{tg}}\left( { — \frac{\pi }{3}} \right) + \frac{{7\pi }}{2} + 11 = \frac{{49\pi }}{6} — 7\sqrt 3  + 11;\)

\(y\left( {\frac{\pi }{4}} \right) =  — 14 \cdot \frac{\pi }{4} + 7\,{\rm{tg}}\frac{\pi }{4} + \frac{{7\pi }}{2} + 11 = 7 + 11 = 18.\)

Так как  \(18 < \frac{{49\pi }}{6} — 7\sqrt 3  + 11\), то наименьшее значение равно 18.

Ответ:  18.