Задача 27. Найдите наибольшее значение функции   \(y = 12\sin x — 6\sqrt 3 \,x + \sqrt 3 \,\pi  + 6\)    на отрезке   \(\left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right]\)

Ответ

ОТВЕТ: 12.

Решение

Область определения функции:  \(x\,\, \in \,\,R.\)

Найдем производную заданной функции:   \(y’ = 12\cos x — 6\sqrt 3 .\)

Найдем нули производной на заданном отрезке \(\left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right]\).

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{12\cos x — 6\sqrt 3  = 0}\\{0 \le x \le \frac{\pi }{2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos x = \frac{{\sqrt 3 }}{2}}\\{0 \le x \le \frac{\pi }{2}}\end{array}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,x = \frac{\pi }{6}.} \right.\)

Определим знаки производной функции на заданном отрезке \(\left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right]\) и ее поведение:

Следовательно, наибольшее значение заданной функции на отрезке \(\left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right]\) будет в точке \(x = \frac{\pi }{6}\).

\(y\left( {\frac{\pi }{6}} \right) = 12\sin \frac{\pi }{6} — 6\sqrt 3  \cdot \frac{\pi }{6} + \sqrt 3  \cdot \pi  + 6 = 12 \cdot \frac{1}{2} — \sqrt 3 \pi  + \sqrt 3 \pi  + 6 = 12.\)

Ответ:  12.