Область определения функции: \(x\,\, \in \,\,R.\)
Найдем производную заданной функции: \(y’ = 5 — 5\sqrt 2 \cos x.\)
Найдем нули производной на заданном отрезке \(\left[ {0;\dfrac{\pi }{2}} \right]\).
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{5 — 5\sqrt 2 \cos x = 0}\\{0 \le x \le \dfrac{\pi }{2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos x = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}}\\{0 \le x \le \dfrac{\pi }{2}}\end{array}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,x = \dfrac{\pi }{4}.} \right.\)
Определим знаки производной функции на заданном отрезке \(\left[ {0;\dfrac{\pi }{2}} \right]\) и ее поведение:
Следовательно, наименьшее значение заданной функции на отрезке \(\left[ {0;\dfrac{\pi }{2}} \right]\) будет в точке \(x = \dfrac{\pi }{4}\).
\(y\left( {\dfrac{\pi }{4}} \right) = 3 — \dfrac{{5\pi }}{4} + 5 \cdot \dfrac{\pi }{4} — 5\sqrt 2 \sin \dfrac{\pi }{4} = 3 — 5\sqrt 2 \cdot \dfrac{{\sqrt 2 }}{2} = — 2.\)
Ответ: – 2.