Задача 28. Найдите наименьшее значение функции \(y = 3 — \frac{{5\pi }}{4} + 5x — 5\sqrt 2 \sin x\) на отрезке \(\left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right]\)
Область определения функции: \(x\,\, \in \,\,R.\) Найдем производную заданной функции: \(y’ = 5 — 5\sqrt 2 \cos x.\) Найдем нули производной на заданном отрезке \(\left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right]\). \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{5 — 5\sqrt 2 \cos x = 0}\\{0 \le x \le \frac{\pi }{2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos x = \frac{{\sqrt 2 }}{2}}\\{0 \le x \le \frac{\pi }{2}}\end{array}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,x = \frac{\pi }{4}.} \right.\) Определим знаки производной функции на заданном отрезке \(\left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right]\) и ее поведение: Следовательно, наименьшее значение заданной функции на отрезке \(\left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right]\) будет в точке \(x = \frac{\pi }{4}\). \(y\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = 3 — \frac{{5\pi }}{4} + 5 \cdot \frac{\pi }{4} — 5\sqrt 2 \sin \frac{\pi }{4} = 3 — 5\sqrt 2 \cdot \frac{{\sqrt 2 }}{2} = — 2.\) Ответ: – 2.