Задача 7. Найдите наименьшее значение функции   \(y = 6\cos x + \frac{{24}}{\pi }x + 5\)   на отрезке   \(\left[ { — \frac{{2\pi }}{3};0} \right]\)

Ответ

ОТВЕТ: — 14.

Решение

Область определения функции:  \(x\,\, \in \,\,R.\)

Найдем производную заданной функции:   \(y’ =  — 6\sin x + \frac{{24}}{\pi }.\)

Видно, что  \(y’ =  — 6\sin x + \frac{{24}}{\pi } > 0\)  при  \(x\,\, \in \,\,R\), так как \(\sin x\,\, \in \,\,\left[ { — 1;1} \right].\)

Следовательно, заданная функция является возрастающей, и наименьшее значение на отрезке \(\left[ { — \frac{{2\pi }}{3};0} \right]\) будет принимать в точке \(x =  — \frac{{2\pi }}{3}\).

\(y\left( { — \frac{{2\pi }}{3}} \right) = 6\cos \left( { — \frac{{2\pi }}{3}} \right) + \frac{{24}}{\pi } \cdot \left( { — \frac{{2\pi }}{3}} \right) + 5 = 6 \cdot \left( { — \frac{1}{2}} \right) — 16 + 5 =  — 14.\)

Ответ:  – 14.