ЕГЭ профильный уровень. №12 Тригонометрические функции. Задача 7math100admin44242025-04-05T18:59:38+03:00
Задача 7. Найдите наименьшее значение функции \(y = 6\cos x + \dfrac{{24}}{\pi }x + 5\) на отрезке \(\left[ { — \dfrac{{2\pi }}{3};0} \right]\)
Решение
Область определения функции: \(x\,\, \in \,\,R.\)
Найдем производную заданной функции: \(y’ = — 6\sin x + \dfrac{{24}}{\pi }.\)
Видно, что \(y’ = — 6\sin x + \dfrac{{24}}{\pi } > 0\) при \(x\,\, \in \,\,R\), так как \(\sin x\,\, \in \,\,\left[ { — 1;1} \right].\)
Следовательно, заданная функция является возрастающей, и наименьшее значение на отрезке \(\left[ { — \dfrac{{2\pi }}{3};0} \right]\) будет принимать в точке \(x = — \dfrac{{2\pi }}{3}\).
\(y\left( { — \dfrac{{2\pi }}{3}} \right) = 6\cos \left( { — \dfrac{{2\pi }}{3}} \right) + \dfrac{{24}}{\pi } \cdot \left( { — \dfrac{{2\pi }}{3}} \right) + 5 = 6 \cdot \left( { — \dfrac{1}{2}} \right) — 16 + 5 = — 14.\)
Ответ: – 14.