Задача 8. Найдите наибольшее значение функции   \(y = 8\sin x — \frac{{30}}{\pi }x + 5\)   на отрезке   \(\left[ { — \frac{{5\pi }}{6};0} \right]\)

Ответ

ОТВЕТ: 26.

Решение

Область определения функции:  \(x\,\, \in \,\,R.\)

Найдем производную заданной функции:    \(y’ = 8\cos x — \frac{{30}}{\pi }.\)

Видно, что  \(y’ = 8\cos x — \frac{{30}}{\pi } < 0\)  при  \(x\,\, \in \,\,R\), так как  \(\cos x\,\, \in \,\,\left[ { — 1;1} \right].\)

Следовательно, заданная функция является убывающей, и наибольшее значение на отрезке \(\left[ { — \frac{{5\pi }}{6};0} \right]\) будет принимать в точке \(x =  — \frac{{5\pi }}{6}\).

\(y\left( { — \frac{{5\pi }}{6}} \right) = 8\sin \left( { — \frac{{5\pi }}{6}} \right) — \frac{{30}}{\pi } \cdot \left( { — \frac{{5\pi }}{6}} \right) + 5 = 8 \cdot \left( { — \frac{1}{2}} \right) + 25 + 5 = 26.\)

Ответ:  26.