ЕГЭ профильный уровень. №12 Тригонометрические функции. Задача 8math100admin44242025-04-05T19:00:37+03:00
Задача 8. Найдите наибольшее значение функции \(y = 8\sin x — \dfrac{{30}}{\pi }x + 5\) на отрезке \(\left[ { — \dfrac{{5\pi }}{6};0} \right]\)
Решение
Область определения функции: \(x\,\, \in \,\,R.\)
Найдем производную заданной функции: \(y’ = 8\cos x — \dfrac{{30}}{\pi }.\)
Видно, что \(y’ = 8\cos x — \dfrac{{30}}{\pi } < 0\) при \(x\,\, \in \,\,R\), так как \(\cos x\,\, \in \,\,\left[ { — 1;1} \right].\)
Следовательно, заданная функция является убывающей, и наибольшее значение на отрезке \(\left[ { — \dfrac{{5\pi }}{6};0} \right]\) будет принимать в точке \(x = — \dfrac{{5\pi }}{6}\).
\(y\left( { — \dfrac{{5\pi }}{6}} \right) = 8\sin \left( { — \dfrac{{5\pi }}{6}} \right) — \dfrac{{30}}{\pi } \cdot \left( { — \dfrac{{5\pi }}{6}} \right) + 5 = 8 \cdot \left( { — \dfrac{1}{2}} \right) + 25 + 5 = 26.\)
Ответ: 26.