Задача 9. Найдите наибольшее значение функции   \(y = 4\cos x — \frac{{27}}{\pi }x + 6\)   на отрезке   \(\left[ { — \frac{{2\pi }}{3};0} \right]\)

Ответ

ОТВЕТ: 22.

Решение

Область определения функции:  \(x\,\, \in \,\,R.\)

Найдем производную заданной функции:    \(y’ =  — 4\sin x — \frac{{27}}{\pi }.\)

Видно, что  \(y’ =  — 4\sin x — \frac{{27}}{\pi } < 0\)  при  \(x\,\, \in \,\,R\), так как  \(\sin x\,\, \in \,\,\left[ { — 1;1} \right].\)

Следовательно, заданная функция является убывающей, и наибольшее значение на отрезке \(\left[ { — \frac{{2\pi }}{3};0} \right]\) будет принимать в точке \(x =  — \frac{{2\pi }}{3}\).

\(y\left( { — \frac{{2\pi }}{3}} \right) = 4\cos \left( { — \frac{{2\pi }}{3}} \right) — \frac{{27}}{\pi } \cdot \left( { — \frac{{2\pi }}{3}} \right) + 6 = 4 \cdot \left( { — \frac{1}{2}} \right) + 18 + 6 = 22.\)

Ответ:  22.