ЕГЭ профильный уровень. №12 Тригонометрические функции. Задача 9math100admin44242025-04-05T19:02:05+03:00
Задача 9. Найдите наибольшее значение функции \(y = 4\cos x — \dfrac{{27}}{\pi }x + 6\) на отрезке \(\left[ { — \dfrac{{2\pi }}{3};0} \right]\)
Решение
Область определения функции: \(x\,\, \in \,\,R.\)
Найдем производную заданной функции: \(y’ = — 4\sin x — \dfrac{{27}}{\pi }.\)
Видно, что \(y’ = — 4\sin x — \dfrac{{27}}{\pi } < 0\) при \(x\,\, \in \,\,R\), так как \(\sin x\,\, \in \,\,\left[ { — 1;1} \right].\)
Следовательно, заданная функция является убывающей, и наибольшее значение на отрезке \(\left[ { — \dfrac{{2\pi }}{3};0} \right]\) будет принимать в точке \(x = — \dfrac{{2\pi }}{3}\).
\(y\left( { — \dfrac{{2\pi }}{3}} \right) = 4\cos \left( { — \dfrac{{2\pi }}{3}} \right) — \dfrac{{27}}{\pi } \cdot \left( { — \dfrac{{2\pi }}{3}} \right) + 6 = 4 \cdot \left( { — \dfrac{1}{2}} \right) + 18 + 6 = 22.\)
Ответ: 22.