Задача 7. Найдите наименьшее значение функции  \(y = {\log _3}\left( {{x^2} — 6x + 10} \right) + 2\)

Ответ

ОТВЕТ: 2.

Решение

Логарифмическая функция  \(y = {\log _3}x\)  является возрастающей при  \(x > 0.\)  Графиком функции  \(f\left( x \right) = {x^2} — 6x + 10\)  является парабола ветвями направленными вверх. Следовательно, её вершина  \({x_B} =  — \frac{b}{{2a}} =  — \frac{{ — 6}}{2} = 3\)  является точкой минимума функции  \(f\left( x \right)\), а так же и точкой минимума функции  \(y = {\log _3}\left( {{x^2} — 6x + 10} \right) + 2\). Следовательно, наименьшее значение исходной функции будет в точке  \(x = 3:\)   \(y\left( 3 \right) = {\log _3}\left( {9 — 18 + 10} \right) + 2 = 2 + {\log _3}1 = 2.\)