1В. а) Решите уравнение \({x^7} + 7{x^4}-8x = 0\);
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ {-\sqrt 2 ;0} \right]\).
ОТВЕТ: а) \(-2;\;\;\;\;0;\;\;\;\;1;\) б) \(0.\)
а) \({x^7} + 7{x^4}-8x = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x\left( {{x^6} + 7{x^3}-8} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^6} + 7{x^3}-8 = 0,}\\{x = 0.\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\) Рассмотрим первое уравнение полученной совокупности. Пусть \({x^3} = t.\) Тогда: \({t^2} + 7t-8 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = -8,}\\{t = 1.\;\;}\end{array}} \right.\) Вернёмся к прежней переменной: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^3} = -8,}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{{x^3} = 1,\;\,\;}\\{x = 0\;\;\;\;}\end{array}}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = -2,}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1,\,\;\,}\\{x = 0.\;\;}\end{array}}\end{array}} \right.\) б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {-\sqrt 2 ;0} \right].\) Так как \(-2 = -\sqrt 4 < -\sqrt 2 ,\) то \(x = -2 \notin \left[ {-\sqrt 2 ;0} \right].\) \(x = 1 \notin \left[ {-\sqrt 2 ;0} \right];\;\;\;\;x = 0 \in \left[ {-\sqrt 2 ;0} \right].\) Ответ: а) \(-2;\;\;\;\;0;\;\;\;\;1;\) б) \(0.\)