10В. а) Решите уравнение \({\left( {{x^2}-6x} \right)^2}-2{\left( {x-3} \right)^2} = 81\);
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ {2;\,\,8} \right]\).
ОТВЕТ: а) \(3;\;\;\;\;3 \pm 2\sqrt 5 ;\) б) \(3;\;\;\;\;3 + 2\sqrt 5 .\)
а) \({\left( {{x^2}-6x} \right)^2}-2{\left( {x-3} \right)^2} = 81\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\left( {{x^2}-6x} \right)^2}-2\left( {{x^2}-6x + 9} \right)-81 = 0.\) Пусть \({x^2}-6x = t.\) Тогда исходное уравнение примет вид: \({t^2}-2\left( {t + 9} \right)-81 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{t^2}-2t-99 = 0\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = 11,\;}\\{t = -9.}\end{array}} \right.\) Вернёмся к прежней переменной: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2}-6x = 11,}\\{{x^2}-6x = -9}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2}-6x-11 = 0,}\\{{x^2}-6x + 9 = 0\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 3 + 2\sqrt 5 ,}\\{x = 3-2\sqrt 5 ,}\\{x = 3.\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\end{array}} \right.\) б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {2;\,\,8} \right].\) Так как \(2,2 = \sqrt {4,84} < \sqrt 5 < \sqrt {5,29} = 2,3,\) то \(4,4 < 2\sqrt 5 < 4,6,\) значит, \(7,4 < 3 + 2\sqrt 5 < 7,6.\) Поэтому, \(x = 3 + 2\sqrt 5 \in \left[ {2;8} \right].\) Так как \(2,2 = \sqrt {4,84} < \sqrt 5 < \sqrt {5,29} = 2,3,\) то \(-4,6 < -2\sqrt 5 < -4,4,\) значит, \(-1,6 < 3-2\sqrt 5 < -1,4.\) Поэтому, \(x = 3-2\sqrt 5 \notin \left[ {2;8} \right].\) \(x = 3 \in \left[ {2;8} \right].\) Ответ: а) \(3;\;\;\;\;3 \pm 2\sqrt 5 ;\) б) \(3;\;\;\;\;3 + 2\sqrt 5 .\)