11В. а) Решите уравнение \({\left( {\frac{{3x-1}}{{x + 1}}} \right)^2}-\frac{{27x-9}}{{x + 1}} + 14 = 0\);
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ {-2\sqrt 2 ;\,\,2\sqrt 2 } \right]\).
ОТВЕТ: а) \(-2;\;\;\;\;3;\) б) \(-2.\)
а) \({\left( {\frac{{3x-1}}{{x + 1}}} \right)^2}-\frac{{27x-9}}{{x + 1}} + 14 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\left( {\frac{{3x-1}}{{x + 1}}} \right)^2}-9 \cdot \frac{{3x-1}}{{x + 1}} + 14 = 0.\) Пусть \(\frac{{3x-1}}{{x + 1}} = t.\) Тогда исходное уравнение примет вид: \({t^2}-9t + 14 = 0\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = 2,}\\{t = 7.}\end{array}} \right.\) Вернёмся к прежней переменной: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{3x-1}}{{x + 1}} = 2,}\\{\frac{{3x-1}}{{x + 1}} = 7\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{3x-1-2x-2}}{{x + 1}} = 0,}\\{\frac{{3x-1-7x-7}}{{x + 1}} = 0\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ne -1,\;}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 3,\;}\\{x = -2}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 3,\;\;}\\{x = -2.}\end{array}} \right.\) б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {-2\sqrt 2 ;\,\,2\sqrt 2 } \right].\) Так как \(3 = \sqrt 9 > \sqrt 8 = 2\sqrt 2 ,\) то \(x = 3 \notin \left[ {-2\sqrt 2 ;2\sqrt 2 } \right].\) Так как \(-2\sqrt 2 = -\sqrt 8 < -\sqrt 4 = -2 < 2\sqrt 2 ,\) то \(x = -2 \in \left[ {-2\sqrt 2 ;2\sqrt 2 } \right].\) Ответ: а) \(-2;\;\;\;\;3;\) б) \(-2.\)