13В. а) Решите уравнение \(\frac{{{x^2}-x}}{{{x^2}-x + 1}}-\frac{{{x^2}-x + 2}}{{{x^2}-x-2}} = 1\);
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left( {0;\,\sqrt 2 } \right]\).
ОТВЕТ: а) \(0;\;\;\;\;1;\) б) \(1.\)
a)\(\frac{{{x^2}-x}}{{{x^2}-x + 1}}-\frac{{{x^2}-x + 2}}{{{x^2}-x-2}} = 1.\) Пусть \({x^2}-x = t.\) Тогда исходное уравнение примет вид: \(\frac{t}{{t + 1}}-\frac{{t + 2}}{{t-2}} = 1\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{{t^2}-2t-{t^2}-2t-t-2-{t^2} + 2t-t + 2}}{{\left( {t-2} \right)\left( {t + 1} \right)}} = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{-{t^2}-4t}}{{\left( {t-2} \right)\left( {t + 1} \right)}} = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{-t\left( {t + 4} \right)}}{{\left( {t-2} \right)\left( {t + 1} \right)}} = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{t \ne 2,\;\;\,}\\{t \ne -1,\,}\end{array}}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = 0,\;}\\{t = -4}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = 0,\;\;}\\{t = -4.}\end{array}} \right.\) Вернёмся к прежней переменной: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2}-x = 0,\;}\\{{x^2}-x = -4}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x\left( {x-1} \right) = 0,\,\;}\\{{x^2}-x + 4 = 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1,}\\{x = 0,}\\{x \notin R}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1,\,}\\{x = 0.}\end{array}} \right.\) б) Отберём корни, принадлежащие полуинтервалу \(\left( {0;\,\sqrt 2 } \right].\) Так как \(0 < 1 = \sqrt 1 < \sqrt 2 ,\) то \(x = 1 \in \left( {0;\sqrt 2 } \right].\) \(x = 0 \notin \left( {0;\sqrt 2 } \right].\) Ответ: а) \(0;\;\;\;\;1;\) б) \(1.\)