14В. а) Решите уравнение \(\frac{{{x^2} + 1}}{x} + \frac{x}{{{x^2} + 1}} = -\frac{5}{2}\);
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ {-\sqrt 2 ;\,\,-\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right]\).
ОТВЕТ: а) \(-1;\) б) \(-1.\)
а) \(\frac{{{x^2} + 1}}{x} + \frac{x}{{{x^2} + 1}} = -\frac{5}{2}.\) Пусть \(\frac{{{x^2} + 1}}{x} = t.\) Тогда исходное уравнение примет вид: \(t + \frac{1}{t} = -\frac{5}{2}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{2{t^2} + 5t + 2}}{{2t}} = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{t \ne 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{2{t^2} + 5t + 2 = 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{t \ne 0,\;\,\;\;}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = -2,}\\{t = -\frac{1}{2}}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = -2,\;}\\{t = -\frac{1}{2}.}\end{array}} \right.\) Вернёмся к прежней переменной: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{{x^2} + 1}}{x} = -2,}\\{\frac{{{x^2} + 1}}{x} = -\frac{1}{2}}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{{x^2} + 2x + 1}}{x} = 0,}\\{\frac{{2{x^2} + x + 2}}{x} = 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ne 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} + 2x + 1 = 0,}\\{2{x^2} + x + 2 = 0}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ne 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\left( {x + 1} \right)}^2} = 0,\;\;\;\;\,}\\{2{x^2} + x + 2 = 0}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ne 0,\;\;\;}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = -1,}\\{x \notin R\;\,}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x = -1.\) б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {-\sqrt 2 ;\,\,-\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right].\) Так как \(-\sqrt 2 < -1 = -\sqrt 1 < -\frac{{\sqrt 2 }}{2},\) то \(x = -1 \in \left[ {-\sqrt 2 ;-\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right].\) Ответ: а) \(-1;\) б) \(-1.\)