а) \(\dfrac{{x + 1}}{{x-1}} + \dfrac{{6x-6}}{{x + 1}}-5 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{x + 1}}{{x-1}} + 6 \cdot \dfrac{{x-1}}{{x + 1}}-5 = 0.\)
Пусть \(\dfrac{{x + 1}}{{x-1}} = t.\) Тогда исходное уравнение примет вид:
\(t + \dfrac{6}{t}-5 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\dfrac{{{t^2}-5t + 6}}{t} = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{t \ne 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{{t^2}-5t + 6 = 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{t \ne 0,\;\,}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = 2,}\\{t = 3}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = 2,}\\{t = 3.}\end{array}} \right.\)
Вернёмся к прежней переменной:
\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\dfrac{{x + 1}}{{x-1}} = 2,}\\{\dfrac{{x + 1}}{{x-1}} = 3\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\dfrac{{x + 1-2x + 2}}{{x-1}} = 0,}\\{\dfrac{{x + 1-3x + 3}}{{x-1}} = 0\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\dfrac{{x-3}}{{x-1}} = 0,\;}\\{\dfrac{{2x-4}}{{x-1}} = 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ne 1,\;\;}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 3,}\\{x = 2\,}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 3,}\\{x = 2.}\end{array}} \right.\)
б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {\dfrac{{\sqrt {15} }}{2};\,2\sqrt 2 } \right].\)
Так как \(3 = \sqrt 9 > \sqrt 8 = 2\sqrt 2 ,\) то \(x = 3 \notin \left[ {\dfrac{{\sqrt {15} }}{2};2\sqrt 2 } \right].\)
Так как \(\dfrac{{\sqrt {15} }}{2} < \dfrac{{\sqrt {16} }}{2} = 2 < 2\sqrt 2 ,\) то \(x = 2 \in \left[ {\frac{{\sqrt {15} }}{2};2\sqrt 2 } \right].\)
Ответ: а) \(2;\;\;\;\;3;\)
б) \(2.\)