Профиль №13. Рациональные уравнения. Задача 15В

ОТВЕТ:  а) \(2;\;\;\;\;3;\)

               б) \(2.\)

а) \(\frac{{x + 1}}{{x-1}} + \frac{{6x-6}}{{x + 1}}-5 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{x + 1}}{{x-1}} + 6 \cdot \frac{{x-1}}{{x + 1}}-5 = 0.\)

Пусть  \(\frac{{x + 1}}{{x-1}} = t.\)  Тогда исходное уравнение примет вид:

\(t + \frac{6}{t}-5 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{{t^2}-5t + 6}}{t} = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{t \ne 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{{t^2}-5t + 6 = 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{t \ne 0,\;\,}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = 2,}\\{t = 3}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = 2,}\\{t = 3.}\end{array}} \right.\)

Вернёмся к прежней переменной:

\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{x + 1}}{{x-1}} = 2,}\\{\frac{{x + 1}}{{x-1}} = 3\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{x + 1-2x + 2}}{{x-1}} = 0,}\\{\frac{{x + 1-3x + 3}}{{x-1}} = 0\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{x-3}}{{x-1}} = 0,\;}\\{\frac{{2x-4}}{{x-1}} = 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ne 1,\;\;}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 3,}\\{x = 2\,}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 3,}\\{x = 2.}\end{array}} \right.\)

б) Отберём корни, принадлежащие отрезку  \(\left[ {\frac{{\sqrt {15} }}{2};\,2\sqrt 2 } \right].\)

Так как  \(3 = \sqrt 9  > \sqrt 8  = 2\sqrt 2 ,\)  то  \(x = 3 \notin \left[ {\frac{{\sqrt {15} }}{2};2\sqrt 2 } \right].\)

Так как  \(\frac{{\sqrt {15} }}{2} < \frac{{\sqrt {16} }}{2} = 2 < 2\sqrt 2 ,\)  то  \(x = 2 \in \left[ {\frac{{\sqrt {15} }}{2};2\sqrt 2 } \right].\)

Ответ:  а) \(2;\;\;\;\;3;\)

             б) \(2.\)