Профиль №13. Рациональные уравнения. Задача 16Вmath100admin44242023-11-23T21:57:13+03:00
16В. а) Решите уравнение \({\left( {{x^2}-4x + 5} \right)^2} = {\left( {{x^2}-2x-1} \right)^2}\);
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left( {1;\;\sqrt 7 } \right]\).
Ответ
ОТВЕТ: а) \(1;\;\;\;\;2;\;\;\;\;3;\)
б) \(2.\)
Решение
а)
\({\left( {{x^2}-4x + 5} \right)^2} = {\left( {{x^2}-2x-1} \right)^2}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\left( {{x^2}-4x + 5} \right)^2}-{\left( {{x^2}-2x-1} \right)^2} = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {{x^2}-4x + 5-{x^2} + 2x + 1} \right)\left( {{x^2}-4x + 5 + {x^2}-2x-1} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {-2x + 6} \right)\left( {2{x^2}-6x + 4} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{-2x + 6 = 0,\;\;\;\;\;\;}\\{2{x^2}-6x + 4 = 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 3,}\\{x = 2,}\\{x = 1.}\end{array}} \right.\)
б) Отберём корни, принадлежащие полуинтервалу \(\left( {1;\;\sqrt 7 } \right].\)
Так как \(3 = \sqrt 9 > \sqrt 7 ,\) то \(x = 3 \notin \left( {1;\sqrt 7 } \right].\)
Так как \(1 < 2 = \sqrt 4 < \sqrt 7 ,\) то \(x = 2 \in \left( {1;\sqrt 7 } \right].\)
\(x = 1 \notin \left( {1;\sqrt 7 } \right].\)
Ответ: а) \(1;\;\;\;\;2;\;\;\;\;3;\)
б) \(2.\)