а)
\({\left( {{x^3} + x + 1} \right)^2} = {\left( {{x^2} + 3x-1} \right)^2}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\left( {{x^3} + x + 1} \right)^2}-{\left( {{x^2} + 3x-1} \right)^2} = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \;\;\;\,\left( {{x^3} + x + 1-{x^2}-3x + 1} \right)\left( {{x^3} + x + 1 + {x^2} + 3x-1} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^3}-{x^2}-2x + 2 = 0,}\\{{x^3} + {x^2} + 4x = 0\;\;\;\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2}\left( {x-1} \right)-2\left( {x-1} \right) = 0,}\\{x\left( {{x^2} + x + 4} \right) = 0\;\,\;\;\;\;\;\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left( {x-1} \right)\left( {{x^2}-2} \right) = 0,}\\{x\left( {{x^2} + x + 4} \right) = 0\;\,\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x-1 = 0,\;\;\;\;\;\;\;}\\{{x^2}-2 = 0,\;\;\,\;\;}\\{x = 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\\{{x^2} + x + 4 = 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1,\;\;\;\;\;\;}\\{x = \pm \sqrt 2 ,}\\{x = 0,\;\;\;\,\,\;}\\{x \notin R\;\;\;\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1,\;\,\,\;\;\;\,}\\{x = \pm \sqrt 2 ,}\\{x = 0.\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\)
б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {-\sqrt 3 ;\,\,\dfrac{{\sqrt 5 }}{3}} \right].\)
Так как \(1 = \sqrt 1 = \dfrac{{\sqrt 9 }}{3} > \dfrac{{\sqrt 5 }}{3},\) то \(x = 1 \notin \left[ {-\sqrt 3 ;\dfrac{{\sqrt 5 }}{3}} \right].\)
Так как \(\sqrt 2 = \dfrac{{\sqrt {18} }}{3} > \dfrac{{\sqrt 5 }}{3},\) то \(x = \sqrt 2 \notin \left[ {-\sqrt 3 ;\dfrac{{\sqrt 5 }}{3}} \right].\)
Так как \(-\sqrt 3 < -\sqrt 2 < \dfrac{{\sqrt 5 }}{3},\) то \(x = -\sqrt 2 \in \left[ {-\sqrt 3 ;\dfrac{{\sqrt 5 }}{3}} \right].\)
\(x = 0 \in \left[ {-\sqrt 3 ;\dfrac{{\sqrt 5 }}{3}} \right].\)
Ответ: а) \( \pm \sqrt 2 ;\;\;\;\;0;\;\;\;\;1;\)
б) \(-\sqrt 2 ;\;\;\;\;0.\)