18В. а) Решите уравнение \(\left( {x-1} \right)\,\left( {x-2} \right)\,\left( {x-3} \right)\,\left( {x-4} \right) = 15\);
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ {1;\;5} \right]\).
ОТВЕТ: а) \(\frac{{5 \pm \sqrt {21} }}{2};\) б) \(\frac{{5 + \sqrt {21} }}{2}.\)
а) \(\left( {x-1} \right)\left( {x-2} \right)\left( {x-3} \right)\left( {x-4} \right) = 15\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {x-1} \right)\left( {x-4} \right)\left( {x-2} \right)\left( {x-3} \right) = 15\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {{x^2}-5x + 4} \right)\left( {{x^2}-5x + 6} \right) = 15.\) Пусть \({x^2}-5x + 4 = t.\) Тогда исходное уравнение примет вид: \(t\left( {t + 2} \right) = 15\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{t^2} + 2t-15 = 0\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = 3,\,\;}\\{t = -5.}\end{array}} \right.\) Вернёмся к прежней переменной: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2}-5x + 4 = 3,\;}\\{{x^2}-5x + 4 = -5}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2}-5x + 1 = 0,}\\{{x^2}-5x + 9 = 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{{5 \pm \sqrt {21} }}{2},}\\{x \notin R\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x = \frac{{5 \pm \sqrt {21} }}{2}.\) б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {1;\;5} \right].\) Так как \(4 = \sqrt {16} < \sqrt {21} < \sqrt {25} = 5,\) то \(0 < 5-\sqrt {21} < 1,\) значит, \(0 < \frac{{5-\sqrt {21} }}{2} < 0,5.\) Поэтому, \(x = \frac{{5-\sqrt {21} }}{2} \notin \left[ {1;5} \right].\) Так как \(4 = \sqrt {16} < \sqrt {21} < \sqrt {25} = 5,\) то \(9 < 5 + \sqrt {21} < 10,\) значит, \(4,5 < \frac{{5 + \sqrt {21} }}{2} < 5.\) Поэтому, \(x = \frac{{5 + \sqrt {21} }}{2} \in \left[ {1;5} \right].\) Ответ: а) \(\frac{{5 \pm \sqrt {21} }}{2};\) б) \(\frac{{5 + \sqrt {21} }}{2}.\)