а)
\(\left( {x-1} \right)\left( {x-2} \right)\left( {x-3} \right)\left( {x-4} \right) = 15\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {x-1} \right)\left( {x-4} \right)\left( {x-2} \right)\left( {x-3} \right) = 15\;\;\; \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {{x^2}-5x + 4} \right)\left( {{x^2}-5x + 6} \right) = 15.\)
Пусть \({x^2}-5x + 4 = t.\) Тогда исходное уравнение примет вид:
\(t\left( {t + 2} \right) = 15\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{t^2} + 2t-15 = 0\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = 3,\,\;}\\{t = -5.}\end{array}} \right.\)
Вернёмся к прежней переменной:
\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2}-5x + 4 = 3,\;}\\{{x^2}-5x + 4 = -5}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2}-5x + 1 = 0,}\\{{x^2}-5x + 9 = 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \dfrac{{5 \pm \sqrt {21} }}{2},}\\{x \notin R\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x = \dfrac{{5 \pm \sqrt {21} }}{2}.\)
б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {1;\;5} \right].\)
Так как \(4 = \sqrt {16} < \sqrt {21} < \sqrt {25} = 5,\) то \(0 < 5-\sqrt {21} < 1,\) значит, \(0 < \dfrac{{5-\sqrt {21} }}{2} < 0,5.\) Поэтому, \(x = \dfrac{{5-\sqrt {21} }}{2} \notin \left[ {1;5} \right].\)
Так как \(4 = \sqrt {16} < \sqrt {21} < \sqrt {25} = 5,\) то \(9 < 5 + \sqrt {21} < 10,\) значит, \(4,5 < \dfrac{{5 + \sqrt {21} }}{2} < 5.\) Поэтому, \(x = \dfrac{{5 + \sqrt {21} }}{2} \in \left[ {1;5} \right].\)
Ответ: а) \(\dfrac{{5 \pm \sqrt {21} }}{2};\)
б) \(\dfrac{{5 + \sqrt {21} }}{2}.\)