а)
\(x\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right) = 48\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x\left( {x + 3} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right) = 48\;\;\;\; \Leftrightarrow \)
\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {{x^2} + 3x} \right)\left( {{x^2} + 3x + 2} \right) = 48.\)
Пусть \({x^2} + 3x = t.\) Тогда исходное уравнение примет вид:
\(t\left( {t + 2} \right) = 48\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{t^2} + 2t-48 = 0\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = 6,\,\;}\\{t = -8.}\end{array}} \right.\)
Вернёмся к прежней переменной:
\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} + 3x = 6,\;}\\{{x^2} + 3x = -8}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} + 3x-6 = 0,}\\{{x^2} + 3x + 8 = 0\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \dfrac{{-3 \pm \sqrt {33} }}{2},}\\{x \notin R\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x = \dfrac{{-3 \pm \sqrt {33} }}{2}.\)
б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {-4,3;\;1,5} \right].\)
Так как \(5,7 = \sqrt {32,94} < \sqrt {33} < \sqrt {33,64} = 5,8,\) то \(-8,8 < -3-\sqrt {33} < -8,7,\) значит, \(-4,4 < \dfrac{{-3-\sqrt {33} }}{2} < -4,35.\) Поэтому, \(x = \dfrac{{-3-\sqrt {33} }}{2} \notin \left[ {-4,3;1,5} \right].\)
Так как \(5,7 = \sqrt {32,94} < \sqrt {33} < \sqrt {33,64} = 5,8,\) то \(2,7 < -3 + \sqrt {33} < 2,8,\) значит, \(1,35 < \dfrac{{-3 + \sqrt {33} }}{2} < 1,4.\) Поэтому, \(x = \dfrac{{-3 + \sqrt {23} }}{2} \in \left[ {-4,3;1,5} \right].\)
Ответ: а) \(\dfrac{{-3 \pm \sqrt {33} }}{2};\)
б) \(\dfrac{{-3 + \sqrt {33} }}{2}.\)