19В. а) Решите уравнение \(x\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right) = 48\);
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ {-4,3;\;1,5} \right]\).
ОТВЕТ: а) \(\frac{{-3 \pm \sqrt {33} }}{2};\) б) \(\frac{{-3 + \sqrt {33} }}{2}.\)
а) \(x\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right) = 48\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x\left( {x + 3} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right) = 48\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {{x^2} + 3x} \right)\left( {{x^2} + 3x + 2} \right) = 48.\) Пусть \({x^2} + 3x = t.\) Тогда исходное уравнение примет вид: \(t\left( {t + 2} \right) = 48\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{t^2} + 2t-48 = 0\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = 6,\,\;}\\{t = -8.}\end{array}} \right.\) Вернёмся к прежней переменной: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} + 3x = 6,\;}\\{{x^2} + 3x = -8}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} + 3x-6 = 0,}\\{{x^2} + 3x + 8 = 0\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{{-3 \pm \sqrt {33} }}{2},}\\{x \notin R\,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x = \frac{{-3 \pm \sqrt {33} }}{2}.\) б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {-4,3;\;1,5} \right].\) Так как \(5,7 = \sqrt {32,94} < \sqrt {33} < \sqrt {33,64} = 5,8,\) то \(-8,8 < -3-\sqrt {33} < -8,7,\) значит, \(-4,4 < \frac{{-3-\sqrt {33} }}{2} < -4,35.\) Поэтому, \(x = \frac{{-3-\sqrt {33} }}{2} \notin \left[ {-4,3;1,5} \right].\) Так как \(5,7 = \sqrt {32,94} < \sqrt {33} < \sqrt {33,64} = 5,8,\) то \(2,7 < -3 + \sqrt {33} < 2,8,\) значит, \(1,35 < \frac{{-3 + \sqrt {33} }}{2} < 1,4.\) Поэтому, \(x = \frac{{-3 + \sqrt {23} }}{2} \in \left[ {-4,3;1,5} \right].\) Ответ: а) \(\frac{{-3 \pm \sqrt {33} }}{2};\) б) \(\frac{{-3 + \sqrt {33} }}{2}.\)