2В. а) Решите уравнение \({x^5} + 6{x^3}-7x = 0\);
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ {0;\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right]\).
ОТВЕТ: а) \(-1;\;\;\;\;0;\;\;\;\;1;\) б) \(0.\)
а) \({x^5} + 6{x^3}-7x = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x\left( {{x^4} + 6{x^2}-7} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^4} + 6{x^2}-7 = 0,}\\{x = 0.\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\) Рассмотрим первое уравнение полученной совокупности. Пусть \({x^2} = t,\;\;\;\;t \ge 0.\) Тогда: \({t^2} + 6t-7 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = -7 < 0,}\\{t = 1.\;\;\;\;\;\;\,\;}\end{array}} \right.\) Вернёмся к прежней переменной: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} = 1,}\\{x = 0\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1,\;\;\,}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{x = -1,}\\{x = 0.\;\;}\end{array}}\end{array}} \right.\) б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {0;\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right].\) Так как \(1 = \frac{1}{{\sqrt 1 }} > \frac{1}{{\sqrt 2 }},\) то \(x = 1 \notin \left[ {0;\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right].\) \(x = -1 \notin \left[ {0;\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right];\;\;\;\;x = 0 \in \left[ {0;\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right].\) Ответ: а) \(-1;\;\;\;\;0;\;\;\;\;1;\) б) \(0.\)