20В. а) Решите уравнение \(\frac{{4x}}{{4{x^2}-8x + 7}} + \frac{{3x}}{{4{x^2}-10x + 7}} = 1\);
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ {\sqrt {0,5} ;\;\sqrt {13} } \right]\).
ОТВЕТ: а) \(0,5;\;\;\;\;3,5.\) б) \(3,5.\)
а) \(\frac{{4x}}{{4{x^2}-8x + 7}} + \frac{{3x}}{{4{x^2}-10x + 7}} = 1.\) Проверкой убедимся, что \(x = 0\) не является решением исходного уравнения. Сократим числители и знаменатели дробей в левой части на \(x:\) \(\frac{4}{{4x-8 + \frac{7}{x}}} + \frac{3}{{4x-10 + \frac{7}{x}}} = 1.\) Пусть \(4x + \frac{7}{x} = t.\) Тогда исходное уравнение примет вид: \(\frac{4}{{t-8}} + \frac{3}{{t-10}} = 1\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{4t-40 + 3t-24-{t^2} + 10t + 8t-80}}{{\left( {t-8} \right)\left( {t-10} \right)}} = 0\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{-{t^2} + 25t-144}}{{\left( {t-8} \right)\left( {t-10} \right)}} = 0\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{t \ne 8,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{t \ne 10,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;}\\{{t^2}-25t + 144 = 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{t \ne 8,\;\;\,}\\{t \ne 10,\;}\end{array}}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = 9,}\\{t = 16}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = 9,\;\,}\\{t = 16.}\end{array}} \right.\) Вернёмся к прежней переменной: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{4x + \frac{7}{x} = 9,\,}\\{4x + \frac{7}{x} = 16}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{4{x^2}-9x + 7 = 0,\,}\\{4{x^2}-16x + 7 = 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \notin R,\;\;}\\{x = 0,5,}\\{x = 3,5\;}\end{array}} \right.\;\;\;\,\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0,5,}\\{x = 3,5.}\end{array}} \right.\) б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {\sqrt {0,5} ;\;\sqrt {13} } \right].\) Так как \(0,5 = \sqrt {0,25} < \sqrt {0,5} ,\) то \(x = 0,5 \notin \left[ {\sqrt {0,5} ;\sqrt {13} } \right].\) Так как \(\sqrt {0,5} < 3,5 = \sqrt {12,25} < \sqrt {13} ,\) то \(x = 3,5 \in \left[ {\sqrt {0,5} ;\sqrt {13} } \right].\) Ответ: а) \(0,5;\;\;\;\;3,5.\) б) \(3,5.\)