21В. а) Решите уравнение \(\frac{{4x}}{{{x^2} + x + 3}} + \frac{{5x}}{{{x^2}-5x + 3}} = -\frac{3}{2}\);
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ {-5;-3} \right]\).
ОТВЕТ: а) \(\frac{{-5 \pm \sqrt {13} }}{2};\) б) \(\frac{{-5-\sqrt {13} }}{2}.\)
а) \(\frac{{4x}}{{{x^2} + x + 3}} + \frac{{5x}}{{{x^2}-5x + 3}} = -\frac{3}{2}.\) Проверкой убедимся, что \(x = 0\) не является решением исходного уравнения. Сократим числитель и знаменатель дробей в левой части на \(x:\) \(\frac{4}{{x + 1 + \frac{3}{x}}} + \frac{5}{{x-5 + \frac{3}{x}}} = -\frac{3}{2}.\) Пусть \(x + \frac{3}{x} = t.\) Тогда исходное уравнение примет вид: \(\frac{4}{{t + 1}} + \frac{5}{{t-5}} = -\frac{3}{2}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{8t-40 + 10t + 10 + 3{t^2}-15t + 3t-15}}{{2\left( {t + 1} \right)\left( {t-5} \right)}} = 0\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{3{t^2} + 6t-45}}{{2\left( {t + 1} \right)\left( {t-5} \right)}} = 0\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{t \ne -1,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{t \ne 5,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;}\\{3{t^2} + 6t-45 = 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\begin{array}{*{20}{c}}{t \ne -1,\;}\\{t \ne 5,\;\;\,}\end{array}}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = 3,\;}\\{t = -5}\end{array}} \right.} \end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = 3,\;\,}\\{t = -5.}\end{array}} \right.\) Вернёмся к прежней переменной: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + \frac{3}{x} = 3,\,\,}\\{x + \frac{3}{x} = -5}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2}-3x + 3 = 0,}\\{{x^2} + 5x + 3 = 0\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \notin R,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{{-5 + \sqrt {13} }}{2},}\\{x = \frac{{-5-\sqrt {13} }}{2}\;\,}\end{array}}\end{array}} \right.\;\;\;\,\, \Leftrightarrow \;\;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{{-5 + \sqrt {13} }}{2},}\\{x = \frac{{-5-\sqrt {13} }}{2}.}\end{array}} \right.\) б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {-5;-3} \right].\) Так как \(3 = \sqrt 9 < \sqrt {13} < \sqrt {16} = 4,\) то \(-2 < -5 + \sqrt {13} < -1,\) значит, \(-1 < \frac{{-5 + \sqrt {13} }}{2} < -0,5.\) Поэтому, \(x = \frac{{-5 + \sqrt {13} }}{2} \notin \left[ {-5;-3} \right].\) Так как \(3 = \sqrt 9 < \sqrt {13} < \sqrt {16} = 4,\) то \(-9 < -5-\sqrt {13} < -8,\) значит, \(-4,5 < \frac{{-5-\sqrt {13} }}{2} < -4.\) Поэтому, \(x = \frac{{-5-\sqrt {13} }}{2} \in \left[ {-5;-3} \right].\) Ответ: а) \(\frac{{-5 \pm \sqrt {13} }}{2};\) б) \(\frac{{-5-\sqrt {13} }}{2}.\)