23В. а) Решите уравнение \({x^4}-2{x^3}-{x^2}-2x + 1 = 0\);
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ {\dfrac{1}{2};\;3} \right]\).
ОТВЕТ: а) \(\dfrac{{3 \pm \sqrt 5 }}{2};\) б) \(\dfrac{{3 + \sqrt 5 }}{2}.\)
а) \({x^4}-2{x^3}-{x^2}-2x + 1 = 0.\) Заметим, что исходное уравнение является возвратным. Значение \(x = 0\) не удовлетворяет исходному уравнению, поэтому разделим обе части уравнения на \({x^2}.\) Тогда: \({x^2}-2x-1-\dfrac{2}{x} + \dfrac{1}{{{x^2}}} = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{x^2} + \dfrac{1}{{{x^2}}}-2\left( {x + \dfrac{1}{x}} \right)-1 = 0.\) Пусть \(x + \dfrac{1}{x} = t.\) Тогда: \({\left( {x + \dfrac{1}{x}} \right)^2} = {t^2}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{x^2} + 2 \cdot x \cdot \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{{{x^2}}} = {t^2}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{x^2} + \dfrac{1}{{{x^2}}} = {t^2}-2.\) Полученное уравнение примет вид: \({t^2}-2-2t-1 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{t^2}-2t-3 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = -1,}\\{t = 3.\;\;}\end{array}} \right.\) Вернёмся к прежней переменной: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + \dfrac{1}{x} = -1,}\\{x + \dfrac{1}{x} = 3\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} + x + 1 = 0,\;}\\{{x^2}-3x + 1 = 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \notin R,\;\;\;\;\,\;\;\;\,}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{x = \dfrac{{3 + \sqrt 5 }}{2},}\\{x = \dfrac{{3-\sqrt 5 }}{2}\;\,}\end{array}}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \dfrac{{3 + \sqrt 5 }}{2},}\\{x = \dfrac{{3-\sqrt 5 }}{2}.\,}\end{array}} \right.\) б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {\dfrac{1}{2};\;3} \right].\) Так как \(2 = \sqrt 4 < \sqrt 5 < \sqrt 9 = 3,\) то \(5 < 3 + \sqrt 5 < 6,\) значит, \(2,5 < \dfrac{{3 + \sqrt 5 }}{2} < 3.\) Поэтому, \(x = \dfrac{{3 + \sqrt 5 }}{2} \in \left[ {\dfrac{1}{2};3} \right].\) Так как \(2 = \sqrt 4 < \sqrt 5 < \sqrt 9 = 3,\) то \(0 < 3-\sqrt 5 < 1,\) значит, \(0 < \dfrac{{3-\sqrt 5 }}{2} < 0,5.\) Поэтому, \(x = \dfrac{{3-\sqrt 5 }}{2} \notin \left[ {\dfrac{1}{2};3} \right].\) Ответ: а) \(\dfrac{{3 \pm \sqrt 5 }}{2};\) б) \(\dfrac{{3 + \sqrt 5 }}{2}.\)