а) \({x^2} + x + \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{{{x^2}}} = 4.\)
Запишем ОДЗ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ne 0,\,}\\{{x^2} \ne 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x \ne 0.\)
\({x^2} + x + \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{{{x^2}}} = 4\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{x^2} + \dfrac{1}{{{x^2}}} + \left( {x + \dfrac{1}{x}} \right) = 4.\)
Пусть \(x + \dfrac{1}{x} = t.\) Тогда:
\({\left( {x + \dfrac{1}{x}} \right)^2} = {t^2}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{x^2} + 2 \cdot x \cdot \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{{{x^2}}} = {t^2}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{x^2} + \dfrac{1}{{{x^2}}} = {t^2}-2.\)
Полученное уравнение примет вид:
\({t^2}-2 + t = 4\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{t^2} + t-6 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = -3,}\\{t = 2.\;\,}\end{array}} \right.\)
Вернёмся к прежней переменной:
\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + \dfrac{1}{x} = -3,}\\{x + \dfrac{1}{x} = 2\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} + 3x + 1 = 0,}\\{{x^2}-2x + 1 = 0\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \dfrac{{-3 + \sqrt 5 }}{2},}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{x = \dfrac{{-3-\sqrt 5 }}{2},}\\{x = 1.\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\end{array}}\end{array}} \right.\)
б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {-1;\;1} \right].\)
Так как \(2 = \sqrt 4 < \sqrt 5 < \sqrt 9 = 3,\) то \(-1 < -3 + \sqrt 5 < 0,\) значит, \(-0,5 < \dfrac{{-3 + \sqrt 5 }}{2} < 0.\) Поэтому, \(x = \dfrac{{-3 + \sqrt 5 }}{2} \in \left[ {-1;1} \right].\)
Так как \(2 = \sqrt 4 < \sqrt 5 < \sqrt 9 = 3,\) то \(-6 < -3-\sqrt 5 < -5,\) значит, \(-3 < \dfrac{{-3-\sqrt 5 }}{2} < -2,5.\) Поэтому, \(x = \dfrac{{-3-\sqrt 5 }}{2} \notin \left[ {-1;1} \right].\)
\(x = 1 \in \left[ {-1;1} \right].\)
Ответ: а) \(1;\;\;\;\;\dfrac{{-3 \pm \sqrt 5 }}{2};\)
б) \(1;\;\;\;\;\dfrac{{-3 + \sqrt 5 }}{2}.\)