25В. а) Решите уравнение \({x^2} + \frac{4}{{x{}^2}} = x-\frac{2}{x} + 4\);
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ {0;\;\sqrt 3 } \right]\).
ОТВЕТ: а) \( \pm \sqrt 2 ;\;\;\;\;-1;\;\;\;\;2.\) б) \(\sqrt 2 .\)
а) \({x^2} + \frac{4}{{{x^2}}} = x-\frac{2}{x} + 4.\) Запишем ОДЗ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ne 0,\,}\\{{x^2} \ne 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x \ne 0.\) Пусть \(x-\frac{2}{x} = t.\) Тогда: \({\left( {x-\frac{2}{x}} \right)^2} = {t^2}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{x^2}-2 \cdot x \cdot \frac{2}{x} + \frac{4}{{{x^2}}} = {t^2}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{x^2} + \frac{4}{{{x^2}}} = {t^2} + 4.\) Исходное уравнение примет вид: \({t^2} + 4 = t + 4\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{t^2}-t = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;t\left( {t-1} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = 1,\;}\\{t = 0.\,}\end{array}} \right.\) Вернёмся к прежней переменной: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x-\frac{2}{x} = 1,}\\{x-\frac{2}{x} = 0\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2}-x-2 = 0,}\\{{x^2}-2 = 0\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2,\;\;\;\;\,}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{x = -1,\;\;\;}\\{x = \pm \sqrt 2 .}\end{array}}\end{array}} \right.\) б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {0;\;\sqrt 3 } \right].\) Так как \(2 = \sqrt 4 > \sqrt 3 ,\) то \(x = 2 \notin \left[ {0;\sqrt 3 } \right].\) \(x = -1 \notin \left[ {0;\sqrt 3 } \right];\;\;\;\;x = -\sqrt 2 \notin \left[ {0;\sqrt 3 } \right];\;\;\;\;\,x = \sqrt 2 \in \left[ {0;\sqrt 3 } \right].\) Ответ: а) \( \pm \sqrt 2 ;\;\;\;\;-1;\;\;\;\;2.\) б) \(\sqrt 2 .\)