25В. а) Решите уравнение \({x^2} + \frac{4}{{x{}^2}} = x-\frac{2}{x} + 4\);

б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ {0;\;\sqrt 3 } \right]\).

Ответ

ОТВЕТ:  а) \( \pm \sqrt 2 ;\;\;\;\;-1;\;\;\;\;2.\)

               б) \(\sqrt 2 .\)

Решение

а) \({x^2} + \frac{4}{{{x^2}}} = x-\frac{2}{x} + 4.\)

Запишем ОДЗ:  \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ne 0,\,}\\{{x^2} \ne 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x \ne 0.\)

Пусть  \(x-\frac{2}{x} = t.\)  Тогда: 

\({\left( {x-\frac{2}{x}} \right)^2} = {t^2}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{x^2}-2 \cdot x \cdot \frac{2}{x} + \frac{4}{{{x^2}}} = {t^2}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{x^2} + \frac{4}{{{x^2}}} = {t^2} + 4.\)

Исходное уравнение примет вид:

\({t^2} + 4 = t + 4\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{t^2}-t = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;t\left( {t-1} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = 1,\;}\\{t = 0.\,}\end{array}} \right.\)

Вернёмся к прежней переменной:

\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x-\frac{2}{x} = 1,}\\{x-\frac{2}{x} = 0\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2}-x-2 = 0,}\\{{x^2}-2 = 0\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2,\;\;\;\;\,}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{x = -1,\;\;\;}\\{x =  \pm \sqrt 2 .}\end{array}}\end{array}} \right.\)

б) Отберём корни, принадлежащие отрезку  \(\left[ {0;\;\sqrt 3 } \right].\)

Так как  \(2 = \sqrt 4  > \sqrt 3 ,\)  то  \(x = 2 \notin \left[ {0;\sqrt 3 } \right].\)

\(x = -1 \notin \left[ {0;\sqrt 3 } \right];\;\;\;\;x = -\sqrt 2  \notin \left[ {0;\sqrt 3 } \right];\;\;\;\;\,x = \sqrt 2  \in \left[ {0;\sqrt 3 } \right].\)

Ответ:  а) \( \pm \sqrt 2 ;\;\;\;\;-1;\;\;\;\;2.\)

             б) \(\sqrt 2 .\)