26В. а) Решите уравнение \(4{x^2} + 12x + \frac{{12}}{x} + \frac{4}{{{x^2}}} = 47\);

б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ {-\frac{1}{2};\;\frac{1}{2}} \right]\).

Ответ

ОТВЕТ:  а) \(\frac{1}{2};\;\;\;\;2;\;\;\;\;\frac{{-11 \pm \sqrt {105} }}{4};\)

               б) \(\frac{1}{2};\;\;\;\;\frac{{-11 + \sqrt {105} }}{4}.\)

Решение

а) \(4{x^2} + 12x + \frac{{12}}{x} + \frac{4}{{{x^2}}} = 47.\)

Запишем ОДЗ:  \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ne 0,\,}\\{{x^2} \ne 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x \ne 0.\)

\(4{x^2} + 12x + \frac{{12}}{x} + \frac{4}{{{x^2}}} = 47\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;4\left( {{x^2} + \frac{1}{{{x^2}}}} \right) + 12\left( {x + \frac{1}{x}} \right) = 47.\)

Пусть  \(x + \frac{1}{x} = t.\)  Тогда: 

\({\left( {x + \frac{1}{x}} \right)^2} = {t^2}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{x^2} + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{{{x^2}}} = {t^2}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{x^2} + \frac{1}{{{x^2}}} = {t^2}-2.\)

Полученное уравнение примет вид:

\(4\left( {{t^2}-2} \right) + 12t = 47\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;4{t^2} + 12t-55 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = -\frac{{11}}{2},}\\{t = \frac{5}{2}.\;\;\;\,\,}\end{array}} \right.\)

Вернёмся к прежней переменной:

\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + \frac{1}{x} = -\frac{{11}}{2},}\\{x + \frac{1}{x} = \frac{5}{2}\;\;\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{2{x^2} + 11x + 2 = 0,}\\{2{x^2}-5x + 2 = 0\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{{-11 \pm \sqrt {105} }}{4},}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{1}{2},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{x = 2.\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\end{array}}\end{array}} \right.\)

б) Отберём корни, принадлежащие отрезку  \(\left[ {-\frac{1}{2};\;\frac{1}{2}} \right].\)

Так как  \(10 = \sqrt {100}  < \sqrt {105}  < \sqrt {121}  = 11,\)  то  \(-1 < -11 + \sqrt {105}  < 0,\)  значит,  \(-0,5 < \frac{{-11 + \sqrt {105} }}{2} < 0.\)  Поэтому,  \(x = \frac{{-11 + \sqrt {105} }}{4} \in \left[ {-\frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right].\)

Так как  \(10 = \sqrt {100}  < \sqrt {105}  < \sqrt {121}  = 11,\)  то  \(-22 < -11-\sqrt {105}  < -21,\)  значит,  \(-11 < \frac{{-11-\sqrt {105} }}{2} < -10,5.\)  Поэтому,  \(x = \frac{{-11-\sqrt {105} }}{4} \notin \left[ {-\frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right].\)

\(x = \frac{1}{2} \in \left[ {-\frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right];\;\;\;\;x = 2 \notin \left[ {-\frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right].\)

Ответ:  а) \(\frac{1}{2};\;\;\;\;2;\;\;\;\;\frac{{-11 \pm \sqrt {105} }}{4};\)

             б) \(\frac{1}{2};\;\;\;\;\frac{{-11 + \sqrt {105} }}{4}.\)