26В. а) Решите уравнение \(4{x^2} + 12x + \frac{{12}}{x} + \frac{4}{{{x^2}}} = 47\);
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ {-\frac{1}{2};\;\frac{1}{2}} \right]\).
ОТВЕТ: а) \(\frac{1}{2};\;\;\;\;2;\;\;\;\;\frac{{-11 \pm \sqrt {105} }}{4};\) б) \(\frac{1}{2};\;\;\;\;\frac{{-11 + \sqrt {105} }}{4}.\)
а) \(4{x^2} + 12x + \frac{{12}}{x} + \frac{4}{{{x^2}}} = 47.\) Запишем ОДЗ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ne 0,\,}\\{{x^2} \ne 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x \ne 0.\) \(4{x^2} + 12x + \frac{{12}}{x} + \frac{4}{{{x^2}}} = 47\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;4\left( {{x^2} + \frac{1}{{{x^2}}}} \right) + 12\left( {x + \frac{1}{x}} \right) = 47.\) Пусть \(x + \frac{1}{x} = t.\) Тогда: \({\left( {x + \frac{1}{x}} \right)^2} = {t^2}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{x^2} + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{{{x^2}}} = {t^2}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{x^2} + \frac{1}{{{x^2}}} = {t^2}-2.\) Полученное уравнение примет вид: \(4\left( {{t^2}-2} \right) + 12t = 47\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;4{t^2} + 12t-55 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = -\frac{{11}}{2},}\\{t = \frac{5}{2}.\;\;\;\,\,}\end{array}} \right.\) Вернёмся к прежней переменной: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + \frac{1}{x} = -\frac{{11}}{2},}\\{x + \frac{1}{x} = \frac{5}{2}\;\;\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{2{x^2} + 11x + 2 = 0,}\\{2{x^2}-5x + 2 = 0\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{{-11 \pm \sqrt {105} }}{4},}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{1}{2},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{x = 2.\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\end{array}}\end{array}} \right.\) б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {-\frac{1}{2};\;\frac{1}{2}} \right].\) Так как \(10 = \sqrt {100} < \sqrt {105} < \sqrt {121} = 11,\) то \(-1 < -11 + \sqrt {105} < 0,\) значит, \(-0,5 < \frac{{-11 + \sqrt {105} }}{2} < 0.\) Поэтому, \(x = \frac{{-11 + \sqrt {105} }}{4} \in \left[ {-\frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right].\) Так как \(10 = \sqrt {100} < \sqrt {105} < \sqrt {121} = 11,\) то \(-22 < -11-\sqrt {105} < -21,\) значит, \(-11 < \frac{{-11-\sqrt {105} }}{2} < -10,5.\) Поэтому, \(x = \frac{{-11-\sqrt {105} }}{4} \notin \left[ {-\frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right].\) \(x = \frac{1}{2} \in \left[ {-\frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right];\;\;\;\;x = 2 \notin \left[ {-\frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right].\) Ответ: а) \(\frac{1}{2};\;\;\;\;2;\;\;\;\;\frac{{-11 \pm \sqrt {105} }}{4};\) б) \(\frac{1}{2};\;\;\;\;\frac{{-11 + \sqrt {105} }}{4}.\)