27В. а) Решите уравнение \(\frac{{{x^2}}}{3} + \frac{{48}}{{{x^2}}} = 10\,\left( {\frac{x}{3}-\frac{4}{x}} \right)\);
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ {-2;\;0} \right]\).
ОТВЕТ: а) \(-2;\;\;\;\;6;\;\;\;\;3 \pm \sqrt {21} ;\) б) \(-2;\;\;\;\;3-\sqrt {21} .\)
а) \(\frac{{{x^2}}}{3} + \frac{{48}}{{{x^2}}} = 10\,\left( {\frac{x}{3}-\frac{4}{x}} \right).\) Запишем ОДЗ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ne 0,\,}\\{{x^2} \ne 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x \ne 0.\) Пусть \(\frac{x}{3}-\frac{4}{x} = t.\) Тогда: \({\left( {\frac{x}{3}-\frac{4}{x}} \right)^2} = {t^2}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{{x^2}}}{9}-2 \cdot \frac{x}{3} \cdot \frac{4}{x} + \frac{{16}}{{{x^2}}} = {t^2}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{16}}{{{x^2}}} = {t^2} + \frac{8}{3}\left| { \cdot 3} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\frac{{{x^2}}}{3} + \frac{{48}}{{{x^2}}} = 3{t^2} + 8.\) Полученное уравнение примет вид: \(3{t^2} + 8 = 10t\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;3{t^2}-10t + 8 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = 2,\,}\\{t = \frac{4}{3}.}\end{array}} \right.\) Вернёмся к прежней переменной: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{x}{3}-\frac{4}{x} = 2,}\\{\frac{x}{3}-\frac{4}{x} = \frac{4}{3}\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2}-6x-12 = 0,}\\{{x^2}-4x-12 = 0\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 3 \pm \sqrt {21} ,\;\;\;\;\;}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{x = 6,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{x = -2.\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\end{array}}\end{array}} \right.\) б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {-2;\;0} \right].\) Так как \(4 = \sqrt {16} < \sqrt {21} < \sqrt {25} = 5,\) то \(7 < 3 + \sqrt {21} < 8,\) значит, \(x = 3 + \sqrt {21} \, \notin \,\left[ {-2;0} \right].\) Так как \(4 = \sqrt {16} < \sqrt {21} < \sqrt {25} = 5,\) то \(-2 < 3-\sqrt {21} < -1,\) значит, \(x = 3-\sqrt {21} \, \in \,\left[ {-2;0} \right].\) \(x = 6\, \notin \,\left[ {-2;0} \right];\;\;\;\;x = -2\, \in \,\left[ {-2;0} \right].\) Ответ: а) \(-2;\;\;\;\;6;\;\;\;\;3 \pm \sqrt {21} ;\) б) \(-2;\;\;\;\;3-\sqrt {21} .\)