28В. а) Решите уравнение \({x^3}-4{x^2} + 3x + 2 = 0\);
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ {2;\;\frac{5}{2}} \right]\).
а) \({x^3}-4{x^2} + 3x + 2 = 0.\) Кандидатами в целые корни исходного кубического уравнения являются делители свободного члена, равного \(2,\) то есть: \( \pm 1;\,\,\,\, \pm 2.\) Подходит \(x = 2.\) Разделим многочлен \({x^3}-4{x^2} + 3x + 2\) на многочлен \(x-2:\) Следовательно, многочлен \({x^3}-4{x^2} + 3x + 2\) раскладывается на множители \(\left( {x-2} \right)\left( {{x^2}-2x-1} \right).\) Тогда: \(\left( {x-2} \right)\left( {{x^2}-2x-1} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2}-2x-1 = 0,}\\{x-2 = 0\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 + \sqrt 2 ,}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1-\sqrt 2 ,}\\{x = 2.\;\;\;\;\;\;\,\;}\end{array}}\end{array}} \right.\) б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {2;\;\frac{5}{2}} \right].\) Так как \(1 = \sqrt 1 < \sqrt 2 < \sqrt {2,25} = 1,5,\) то \(2 < 1 + \sqrt 2 < 2,5 = \frac{5}{2},\) значит, \(x = 1 + \sqrt 2 \in \left[ {2;\frac{5}{2}} \right].\) Так как \(1 = \sqrt 1 < \sqrt 2 < \sqrt {2,25} = 1,5,\) то \(-0,5 < 1-\sqrt 2 < 0,\) значит, \(x = 2 \notin \left[ {2;\frac{5}{2}} \right].\) \(x = 2\, \in \,\left[ {2;\frac{5}{2}} \right].\) Ответ: а) \(2;\;\;\;\;1 \pm \sqrt 2 ;\) б) \(2;\;\;\;\;1 + \sqrt 2 .\)