29В. а) Решите уравнение \({x^3}-{x^2}-9x-6 = 0\);
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ {0;\;4} \right]\).
а) \({x^3}-{x^2}-9x-6 = 0.\) Кандидатами в целые корни исходного кубического уравнения являются делители свободного члена, равного \(-6,\) то есть: \( \pm 1;\;\;\, \pm 2;\;\;\, \pm 3;\,\;\; \pm 6.\) Подходит \(x = -2.\) Разделим многочлен \({x^3}-{x^2}-9x-6\) на многочлен \(x + 2:\) Следовательно, многочлен \({x^3}-{x^2}-9x-6\) раскладывается на множители \(\left( {x + 2} \right)\left( {{x^2}-3x-3} \right).\) Тогда: \(\left( {x + 2} \right)\left( {{x^2}-3x-3} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2}-3x-3 = 0,}\\{x + 2 = 0\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{{3 + \sqrt {21} }}{2},}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{{3-\sqrt {21} }}{2},}\\{x = -2.\;\;\,\;\;\;\;\,\;}\end{array}}\end{array}} \right.\) б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {0;\;4} \right].\) Так как \(4 = \sqrt {16} < \sqrt {21} < \sqrt {25} = 5,\) то \(7 < 3 + \sqrt {21} < 8,\) значит, \(3,5 < \frac{{3 + \sqrt {21} }}{2} < 4.\) Поэтому, \(x = \frac{{3 + \sqrt {21} }}{2}\,\, \in \,\left[ {0;4} \right].\) Так как \(4 = \sqrt {16} < \sqrt {21} < \sqrt {25} = 5,\) то \(-2 < 3-\sqrt {21} < -1,\) значит, \(-1 < \frac{{3-\sqrt {21} }}{2} < -0,5.\) Поэтому, \(x = \frac{{3-\sqrt {21} }}{2}\,\, \notin \,\left[ {0;4} \right].\) \(x = -2\, \notin \,\left[ {0;4} \right].\) Ответ: а) \(-2;\;\;\;\;\frac{{3 \pm \sqrt {21} }}{2};\) б) \(\frac{{3 + \sqrt {21} }}{2}.\)