3В. а) Решите уравнение \({\left( {x-3} \right)^3}-{x^2} + 9 = 0\);
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ {\sqrt 2 ;\sqrt {10} } \right]\).
ОТВЕТ: а) \(1;\;\;\;\;3;\;\;\;\;6;\) б) \(3.\)
а) \({\left( {x-3} \right)^3}-{x^2} + 9 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;{\left( {x-3} \right)^3}-\left( {{x^2}-9} \right) = 0\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,{\left( {x-3} \right)^3}-\left( {x-3} \right)\left( {x + 3} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {x-3} \right)\left( {{{\left( {x-3} \right)}^2}-\left( {x + 3} \right)} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x-3 = 0,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\;\;\;\,}\\{{{\left( {x-3} \right)}^2}-\left( {x + 3} \right) = 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 3,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,\;\;\,}\\{{x^2}-7x + 6 = 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 3,}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1,}\\{x = 6.}\end{array}}\end{array}} \right.\) б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {\sqrt 2 ;\sqrt {10} } \right].\) Так как \(\sqrt 2 < 3 = \sqrt 9 < \sqrt {10} ,\) то \(x = 3 \in \left[ {\sqrt 2 ;\sqrt {10} } \right].\) Так как \(\sqrt 2 > \sqrt 1 = 1,\) то \(x = 1 \notin \left[ {\sqrt 2 ;\sqrt {10} } \right].\) Так как \(6 = \sqrt {36} > \sqrt {10} ,\) то \(x = 6 \notin \left[ {\sqrt 2 ;\sqrt {10} } \right].\) Ответ: а) \(1;\;\;\;\;3;\;\;\;\;6;\) б) \(3.\)