31В. а) Решите уравнение \({x^4}-2{x^3}-{x^2} + 2x = 0\);
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ {-\sqrt 2 ;\;\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right]\).
ОТВЕТ: а) \(-1;\;\;\;\;0;\;\;\;\;1;\;\;\;\;2;\) б) \(-1;\;\;\;\;0.\)
а) \({x^4}-2{x^3}-{x^2} + 2x = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x\left( {{x^3}-2{x^2}-x + 2} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x\left( {{x^2}\left( {x-2} \right)-\left( {x-2} \right)} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;x\left( {{x^2}-1} \right)\left( {x-2} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x\left( {x-1} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {x-2} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2,\;\,}\\{x = 1,\;\;}\\{x = -1,}\\{x = 0.\;\,}\end{array}} \right.\) б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {-\sqrt 2 ;\;\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right].\) Так как \(2 = \sqrt 4 > \frac{{\sqrt 2 }}{2},\) то \(x = 2 \notin \left[ {-\sqrt 2 ;\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right].\) Так как \(1 = \sqrt 1 > \frac{{\sqrt 2 }}{2},\) то \(x = 1 \notin \left[ {-\sqrt 2 ;\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right].\) Так как \(-\sqrt 2 < -\sqrt 1 = -1 < \frac{{\sqrt 2 }}{2},\) то \(x = -1 \in \left[ {-\sqrt 2 ;\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right].\) \(x = 0 \in \left[ {-\sqrt 2 ;\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right].\) Ответ: а) \(-1;\;\;\;\;0;\;\;\;\;1;\;\;\;\;2;\) б) \(-1;\;\;\;\;0.\)