32В. а) Решите уравнение \({x^3}-{x^2}-\frac{8}{{{x^3}-{x^2}}} = 2\);
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ {0;\;\sqrt 5 } \right]\).
а) \({x^3}-{x^2}-\frac{8}{{{x^3}-{x^2}}} = 2.\) Запишем ОДЗ: \({x^3}-{x^2} \ne 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{x^2}\left( {x-1} \right) \ne 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} \ne 0,\;\;}\\{x-1 \ne 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ne 0,}\\{x \ne 1.\,}\end{array}} \right.\) Пусть \({x^3}-{x^2} = t.\) Тогда исходное уравнение примет вид: \(t-\frac{8}{t} = 2\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{t^2}-2t-8 = 0,}\\{t \ne 0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = 4,\;\;}\\{t = -2,}\end{array}} \right.}\\{t \ne 0\;\;\,\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = 4,\;\,}\\{t = -2.}\end{array}} \right.\) Вернёмся к прежней переменной: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^3}-{x^2}-4 = 0,}\\{{x^3}-{x^2} + 2 = 0.}\end{array}} \right.\) Рассмотрим первое уравнение полученной совокупности: \({x^3}-{x^2}-4 = 0.\) Кандидатами в целые этого кубического уравнения являются делители свободного члена, равного \(-4,\) то есть: \( \pm 1;\;\;\, \pm 2;\;\;\; \pm 4.\) Подходит \(x = 2.\) Разделим многочлен \({x^3}-{x^2}-4\) на многочлен \(x-2:\) Следовательно, многочлен \({x^3}-{x^2}-4\) раскладывается на множители \(\left( {x-2} \right)\left( {{x^2} + x + 2} \right).\) Тогда: \(\left( {x-2} \right)\left( {{x^2} + x + 2} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x-2 = 0,\;\,\;\;\;\;\,}\\{{x^2} + x + 2 = 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2,}\\{x \notin R}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x = 2.\) Рассмотрим второе уравнение полученной совокупности: \({x^3}-{x^2} + 4 = 0.\) Кандидатами в целые корни этого кубического уравнения являются делители свободного члена, равного \(2,\) то есть: \( \pm 1;\;\;\, \pm 2.\) Подходит \(x = -1.\) Разделим многочлен \({x^3}-{x^2} + 2\) на многочлен \(x + 1:\) Следовательно, многочлен \({x^3}-{x^2} + 2\) раскладывается на множители \(\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2}-2x + 2} \right).\) Тогда: \(\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2}-2x + 2} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + 1 = 0,\;\,\;\;\,\,\;\;\;\,}\\{{x^2}-2x + 2 = 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = -1,}\\{x \notin R\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x = -1.\) Следовательно, решением исходного уравнения будет являться совокупность: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = -1,}\\{x = 2.\;\,}\end{array}} \right.\) б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {0;\;\sqrt 5 } \right].\) Так как \(0 < \sqrt 4 = 2 < \sqrt 5 ,\) то \(x = 2\, \in \,\left[ {0;\sqrt 5 } \right].\) \(x = -1\, \notin \,\left[ {0;\sqrt 5 } \right].\) Ответ: а) \(-1;\;\;\;\;2;\) б) \(2.\)
