33В. а) Решите уравнение \({x^4}-4{x^3} + 12x-9 = 0\);
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ {-\sqrt 5 ;\;\sqrt 2 } \right]\).
ОТВЕТ: а) \( \pm \sqrt 3 ;\;\;\;\;1;\;\;\;\;3;\) б) \(-\sqrt 3 ;\;\,\;\,\;1.\)
а) \({x^4}-4{x^3} + 12x-9 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {{x^2}-3} \right)\left( {{x^2} + 3} \right)-4x\left( {{x^2}-3} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {{x^2}-3} \right)\left( {{x^2}-4x + 3} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {x-\sqrt 3 } \right)\left( {x + \sqrt 3 } \right)\left( {{x^2}-4x + 3} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x-\sqrt 3 = 0,\;\;\;\;\;}\\{x + \sqrt 3 = 0,\;\;\;\;\;}\\{{x^2}-4x + 3 = 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \sqrt 3 ,\;\;}\\{x = -\sqrt 3 ,}\\{x = 3,\;\,\;\;\;}\\{x = 1.\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\) б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {-\sqrt 5 ;\;\sqrt 2 } \right].\) Так как \(\sqrt 3 > \sqrt 2 ,\) то \(x = \sqrt 3 \, \notin \,\left[ {-\sqrt 5 ;\;\sqrt 2 } \right].\) Так как \(-\sqrt 5 < -\sqrt 3 < \sqrt 2 ,\) то \(x = -\sqrt 3 \, \in \,\left[ {-\sqrt 5 ;\;\sqrt 2 } \right].\) Так как \(3 = \sqrt 9 > \sqrt 2 ,\) то \(x = 3\, \notin \,\left[ {-\sqrt 5 ;\;\sqrt 2 } \right].\) Так как \(-\sqrt 5 < 1 = \sqrt 1 < \sqrt 2 ,\) то \(x = 1\, \in \,\left[ {-\sqrt 5 ;\;\sqrt 2 } \right].\) Ответ: а) \( \pm \sqrt 3 ;\;\;\;\;1;\;\;\;\;3;\) б) \(-\sqrt 3 ;\;\,\;\,\;1.\)