34В. а) Решите уравнение \({x^4}-3{x^3} + 6x-4 = 0\);
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ {-1;\;\sqrt 3 } \right]\).
ОТВЕТ: а) \( \pm \sqrt 2 ;\;\;\;\;1;\;\;\;\;2;\) б) \(1;\;\,\;\,\;\sqrt 2 .\)
а) \({x^4}-3{x^3} + 6x-4 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {{x^2}-2} \right)\left( {{x^2} + 2} \right)-3x\left( {{x^2}-2} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {{x^2}-2} \right)\left( {{x^2}-3x + 2} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left( {x-\sqrt 2 } \right)\left( {x + \sqrt 2 } \right)\left( {{x^2}-3x + 2} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x-\sqrt 2 = 0,\;\;\;\;\;}\\{x + \sqrt 2 = 0,\;\;\;\;\;}\\{{x^2}-3x + 2 = 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \sqrt 2 ,\;\;}\\{x = -\sqrt 2 ,}\\{x = 2,\;\,\;\;\;}\\{x = 1.\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\) б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {-1;\;\sqrt 3 } \right].\) Так как \(-1 < \sqrt 2 < \sqrt 3 ,\) то \(x = \sqrt 2 \in \left[ {-1;\sqrt 3 } \right].\) Так как \(-\sqrt 2 < -\sqrt 1 = -1,\) то \(x = -\sqrt 2 \notin \left[ {-1;\sqrt 3 } \right].\) Так как \(2 = \sqrt 4 > \sqrt 3 ,\) то \(x = 2 \notin \left[ {-1;\sqrt 3 } \right].\) Так как \(-1 < 1 = \sqrt 1 < \sqrt 3 ,\) то \(x = 1 \in \left[ {-1;\sqrt 3 } \right].\) Ответ: а) \( \pm \sqrt 2 ;\;\;\;\;1;\;\;\;\;2;\) б) \(1;\;\,\;\,\;\sqrt 2 .\)