а) \(\dfrac{{{x^3}-6{x^2} + 11x-6}}{{x-2}} = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^3}-6{x^2} + 11x-6 = 0,}\\{x \ne 2.\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\)
Решим уравнение последней системы. Кандидатами в целые корни полученного кубического уравнения являются делители свободного члена, равного \(-6,\) то есть: \( \pm 1;\,\;\, \pm 2;\;\,\, \pm 3;\,\;\, \pm 6.\)
Подходит \(x = 1.\) Разделим многочлен \({x^3}-6{x^2} + 11x-6\) на многочлен \(x-1:\)
Следовательно, многочлен \({x^3}-6{x^2} + 11x-6\) раскладывается на множители \(\left( {x-1} \right)\left( {{x^2}-5x + 6} \right).\) Тогда:
\(\left( {x-1} \right)\left( {{x^2}-5x + 6} \right) = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2}-5x + 6 = 0,}\\{x-1 = 0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 3,}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2,}\\{x = 1.\,}\end{array}}\end{array}} \right.\)
Корень \(x = 2\) не удовлетворяет ОДЗ, поэтому решением исходного уравнения будет являться совокупность \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 3,}\\{x = 1.}\end{array}} \right.\)
б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {\sqrt 2 ;\;2\sqrt 3 } \right].\)
Так как \(\sqrt 2 < 3 = \sqrt 9 < \sqrt {12} = 2\sqrt 3 ,\) то \(x = 3\, \in \,\left[ {\sqrt 2 ;2\sqrt 3 } \right].\)
Так как \(1 = \sqrt 1 < \sqrt 2 ,\) то \(x = 1\, \notin \,\left[ {\sqrt 2 ;2\sqrt 3 } \right].\)
Ответ: а) \(1;\;\;\;\;3;\)
б) \(3.\)