37В. а) Решите уравнение \({\left( {\frac{{{x^2}-2x + 3}}{x}} \right)^2}-5x = \frac{{15}}{x}-16\);
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ {\frac{1}{2};\;4} \right]\).
ОТВЕТ: а) \(1;\;\;\,3;\;\;\,\,\frac{{5 \pm \sqrt {13} }}{2};\) б) \(1;\;\;\;3;\;\;\,\;\frac{{5-\sqrt {13} }}{2}.\)
а) \({\left( {\frac{{{x^2}-2x + 3}}{x}} \right)^2}-5x = \frac{{15}}{x}-16\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{\left( {x + \frac{3}{x}-2} \right)^2} = 5\left( {x + \frac{3}{x}} \right)-16.\) Запишем ОДЗ: \(x \ne 0.\) Пусть \(x + \frac{3}{x} = t.\) Тогда исходное уравнение примет вид: \({\left( {t-2} \right)^2} = 5t-16\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;{t^2}-9t + 20 = 0\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = 5,}\\{t = 4.}\end{array}} \right.\) Вернёмся к прежней переменной: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + \frac{3}{x} = 5,}\\{x + \frac{3}{x} = 4\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2}-5x + 3 = 0,}\\{{x^2}-4x + 3 = 0\,\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{{5 \pm \sqrt {13} }}{2},}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{x = 3,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{x = 1.\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\end{array}}\end{array}} \right.\) б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {\frac{1}{2};\;4} \right].\) Так как \(3 = \sqrt 9 < \sqrt {13} < \sqrt {16} = 4,\) то \(1 < 5-\sqrt {13} < 2,\) значит, \(\frac{1}{2} < \frac{{5-\sqrt {13} }}{2} < 1.\)Поэтому, \(x = \frac{{5-\sqrt {13} }}{2} \in \left[ {\frac{1}{2};4} \right].\) Так как \(3 = \sqrt 9 < \sqrt {13} < \sqrt {16} = 4,\) то \(8 < 5 + \sqrt {13} < 9,\) значит, \(4 < \frac{{5 + \sqrt {13} }}{2} < 4,5.\)Поэтому, \(x = \frac{{5 + \sqrt {13} }}{2} \notin \left[ {\frac{1}{2};4} \right].\) \(x = 3 \in \left[ {\frac{1}{2};4} \right];\;\;\;\;x = 1 \in \left[ {\frac{1}{2};4} \right].\) Ответ: а) \(1;\;\;\,3;\;\;\,\,\frac{{5 \pm \sqrt {13} }}{2};\) б) \(1;\;\;\;3;\;\;\,\;\frac{{5-\sqrt {13} }}{2}.\)