38В. а) Решите уравнение \(\frac{{{{\left( {x-2} \right)}^2}}}{2} + \frac{{18}}{{{{\left( {x-2} \right)}^2}}} = 7\left( {\frac{{x-2}}{2}-\frac{3}{{x-2}}} \right) + 10\);      

б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ {-2;\;2} \right]\).

Ответ

ОТВЕТ:  а) \(-1;\;\;\;4;\;\;\;6 \pm \sqrt {22} ;\)

                  б) \(-1;\;\;\;6-\sqrt {22} .\)

Решение

а) \(\frac{{{{\left( {x-2} \right)}^2}}}{2} + \frac{{18}}{{{{\left( {x-2} \right)}^2}}} = 7\left( {\frac{{x-2}}{2}-\frac{3}{{x-2}}} \right) + 10.\)

Запишем ОДЗ:  \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\left( {x-2} \right)}^2} \ne 0,}\\{x-2 \ne 0\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\;\;\;x \ne 2.\)

Пусть  \(\frac{{x-2}}{2}-\frac{3}{{x-2}} = t.\)  Тогда:

  \({\left( {\frac{{x-2}}{2}-\frac{3}{{x-2}}} \right)^2} = {t^2}\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\,\;\frac{{{{\left( {x-2} \right)}^2}}}{4}-2 \cdot \frac{{x-2}}{2} \cdot \frac{3}{{x-2}} + \frac{9}{{{{\left( {x-2} \right)}^2}}} = {t^2}\,\,{\rm{|}} \cdot {\rm{2}}\;\;{\rm{  }} \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\,\,\,\frac{{{{\left( {x-2} \right)}^2}}}{2} + \frac{9}{{{{\left( {x-1} \right)}^2}}} = 2{t^2} + 6.\) 

Исходное уравнение примет вид:

\(2{t^2} + 6 = 7t + 10\;\;\,\,\, \Leftrightarrow \;\,\;\;2{t^2}-7t-4 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = 4,\;\;\;}\\{t = -\frac{1}{2}.}\end{array}} \right.\)

Вернёмся к прежней переменной:

\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{x-2}}{2}-\frac{3}{{x-2}} = 4,\;\;\;}\\{\;\frac{{x-2}}{2}-\frac{3}{{x-2}} = -\frac{1}{2}}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{{x^2}-4x + 4-6-8x + 16}}{{2\left( {x-2} \right)}} = 0,}\\{\frac{{{x^2}-4x + 4-6 + x-2}}{{2\left( {x-2} \right)}} = 0\,\;\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2}-12x + 14 = 0,}\\{{x^2}-3x-4 = 0\,\;\;\,\,\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 6 \pm \sqrt {22} ,}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{x = -1,\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{x = 4.\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\end{array}}\end{array}} \right.\)

б) Отберём корни, принадлежащие отрезку  \(\left[ {-2;\;2} \right].\)

Так как  \(4 = \sqrt {16}  < \sqrt {22}  < \sqrt {25}  = 5,\)  то  \(1 < 6-\sqrt {22}  < 2,\)  значит,  \(x = 6-\sqrt {22}  \in \left[ {-2;\;2} \right].\)

Так как  \(4 = \sqrt {16}  < \sqrt {22}  < \sqrt {25}  = 5,\)  то  \(10 < 6 + \sqrt {22}  < 11,\)  значит,  \(x = 6 + \sqrt {22}  \notin \left[ {-2;\;2} \right].\)

\(x = -1 \in \left[ {-2;\;2} \right];\;\;\;\;x = 4 \notin \left[ {-2;\;2} \right].\)

Ответ:  а) \(-1;\;\;\;4;\;\;\;6 \pm \sqrt {22} ;\)

             б) \(-1;\;\;\;6-\sqrt {22} .\)