39В. а) Решите уравнение \(\frac{{{{\left( {x-1} \right)}^2}}}{8} + \frac{8}{{{{\left( {x-1} \right)}^2}}} = 7\left( {\frac{{x-1}}{4}-\frac{2}{{x-1}}} \right)-1\);

б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ {-2;\;3} \right]\).

Ответ

ОТВЕТ:  а) \(-1;\;\;\;5;\;\;\;7 \pm 2\sqrt {11} ;\)

               б) \(-1;\;\;\;7-2\sqrt {11} .\)

Решение

а) \(\frac{{{{\left( {x-1} \right)}^2}}}{8} + \frac{8}{{{{\left( {x-1} \right)}^2}}} = 7\left( {\frac{{x-1}}{4}-\frac{2}{{x-1}}} \right)-1.\)

Запишем ОДЗ:  \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\left( {x-1} \right)}^2} \ne 0,}\\{x-1 \ne 0\;\;\;\;\;}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\;\;\;x \ne 1.\)

Пусть  \(\frac{{x-1}}{4}-\frac{2}{{x-1}} = t.\)  Тогда: 

\({\left( {\frac{{x-1}}{4}-\frac{2}{{x-1}}} \right)^2} = {t^2}\;\;\;\, \Leftrightarrow \;\;\;\,\;\frac{{{{\left( {x-1} \right)}^2}}}{{16}}-2 \cdot \frac{{x-1}}{4} \cdot \frac{2}{{x-1}} + \frac{4}{{{{\left( {x-1} \right)}^2}}} = {t^2}\,\,{\rm{|}} \cdot {\rm{2}}\;\;{\rm{  }} \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\,\,\,\frac{{{{\left( {x-1} \right)}^2}}}{8} + \frac{8}{{{{\left( {x-1} \right)}^2}}} = 2{t^2} + 2.\) 

Исходное уравнение примет вид:

\(2{t^2} + 2 = 7t-1\;\;\,\,\, \Leftrightarrow \;\,\;\;2{t^2}-7t + 3 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \,\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = 3,\,}\\{t = \frac{1}{2}.}\end{array}} \right.\)

Вернёмся к прежней переменной:

\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{x-1}}{4}-\frac{2}{{x-1}} = 3,\;}\\{\;\frac{{x-1}}{4}-\frac{2}{{x-1}} = \frac{1}{2}}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{{x^2}-2x + 1-8-12x + 12}}{{4\left( {x-1} \right)}} = 0,}\\{\frac{{{x^2}-2x + 1-8-2x + 2}}{{4\left( {x-1} \right)}} = 0\,\;\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2}-14x + 5 = 0,}\\{{x^2}-4x-5 = 0\,\;\,\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 7 \pm 2\sqrt {11} ,}\\{\begin{array}{*{20}{c}}{x = -1,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\\{x = 5.\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\end{array}}\end{array}} \right.\)

б) Отберём корни, принадлежащие отрезку  \(\left[ {-2;3} \right].\)

Так как  \(3 = \sqrt 9  < \sqrt {11}  < \sqrt {16}  = 4,\)  то  \(-1 < 7-2\sqrt {11}  < 1,\)  значит,  \(x = 7-2\sqrt {11}  \in \left[ {-2;3} \right].\)

Так как  \(3 = \sqrt 9  < \sqrt {11}  < \sqrt {16}  = 4,\)  то  \(13 < 7 + 2\sqrt {11}  < 15,\)  значит,  \(x = 7 + 2\sqrt {11}  \notin \left[ {-2;3} \right].\)

\(x = -1 \in \left[ {-2;\;3} \right];\;\;\;\;x = 5 \notin \left[ {-2;\;3} \right].\)

Ответ:  а) \(-1;\;\;\;5;\;\;\;7 \pm 2\sqrt {11} ;\)

             б) \(-1;\;\;\;7-2\sqrt {11} .\)