40В. а) Решите уравнение \({\left( {x-2} \right)^4} + 3{\left( {x-2} \right)^2}{\left( {x-3} \right)^2}-4{\left( {x-3} \right)^4} = 0\);
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ {\sqrt 6 ;\;3} \right]\).
ОТВЕТ: а) \(2,5;\) б) \(2,5.\)
а) \({\left( {x-2} \right)^4} + 3{\left( {x-2} \right)^2}{\left( {x-3} \right)^2}-4{\left( {x-3} \right)^4} = 0.\) Так как \(x = 3\) не является корнем исходного уравнения, то разделим обе части уравнения на \({\left( {x-3} \right)^4}.\) Тогда уравнение примет вид: \(\frac{{{{\left( {x-2} \right)}^4}}}{{{{\left( {x-3} \right)}^4}}} + 3\frac{{{{\left( {x-2} \right)}^2}}}{{{{\left( {x-3} \right)}^2}}}-4 = 0.\) Пусть \({\left( {\frac{{x-2}}{{x-3}}} \right)^2} = t.\) Тогда исходное уравнение примет вид: \({t^2} + 3t-4 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = 1,\;\;\,}\\{t = -4.}\end{array}} \right.\) Вернёмся к прежней переменной: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\left( {\frac{{x-2}}{{x-3}}} \right)}^2} = 1,\,\;}\\{{{\left( {\frac{{x-2}}{{x-3}}} \right)}^2} = -4}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{x-2}}{{x-3}} = \pm 1,}\\{x \notin R\;\;\;\,\,\;\;\;\,}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{x-2}}{{x-3}} = 1,\;\,}\\{\frac{{x-2}}{{x-3}} = -1}\end{array}\;\;\;\; \Leftrightarrow } \right.\) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x-2-x + 3 = 0,}\\{x-2 + x-3 = 0\;}\end{array}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \notin R,\;\,}\\{x = 2,5}\end{array}} \right.} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;x = 2,5.\) б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {\sqrt 6 ;\;3} \right].\) Так как \(\sqrt 6 < \sqrt {6,25} = 2,5 < \sqrt 9 = 3,\) то \(x = 2,5 \in \left[ {\sqrt 6 ;3} \right].\) Ответ: а) \(2,5;\) б) \(2,5.\)