41В. а) Решите уравнение а) \(2\left( {{x^3} + 1} \right) + {\left( {{x^2}-x + 1} \right)^2} = 3{\left( {x + 1} \right)^2}\);
б) Найдите все корни принадлежащие промежутку \(\left[ {1;\;\sqrt 5 } \right]\).
ОТВЕТ: а) \(0;\;\;\;\;2;\) б) \(2.\)
а) \(2\left( {{x^3} + 1} \right) + {\left( {{x^2}-x + 1} \right)^2} = 3{\left( {x + 1} \right)^2}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;2\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2}-x + 1} \right) + {\left( {{x^2}-x + 1} \right)^2}-3{\left( {x + 1} \right)^2} = 0.\) Так как \(x = -1\) не является корнем исходного уравнения, то разделим обе части уравнения на \({\left( {x + 1} \right)^2}.\) Тогда уравнение примет вид: \(2\frac{{{x^2}-x + 1}}{{x + 1}} + {\left( {\frac{{{x^2}-x + 1}}{{x + 1}}} \right)^2}-3 = 0.\) Пусть \(\frac{{{x^2}-x + 1}}{{x + 1}} = t.\) Тогда исходное уравнение примет вид: \({t^2} + 2t-3 = 0\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = 1,\;\;\,}\\{t = -3.}\end{array}} \right.\) Вернёмся к прежней переменной: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{{x^2}-x + 1}}{{x + 1}} = 1,\,\;}\\{\frac{{{x^2}-x + 1}}{{x + 1}} = -3}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{{x^2}-x + 1-x-1}}{{x + 1}} = 0,\,\;}\\{\frac{{{x^2}-x + 1 + 3x + 3}}{{x + 1}} = 0}\end{array}} \right.\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2}-2x = 0,\;\;\;\;\,}\\{{x^2} + 2x + 4 = 0}\end{array}\;\;\;\; \Leftrightarrow } \right.\) \( \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x\left( {x-2} \right) = 0,}\\{x \notin R\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,}\end{array}\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2,}\\{x = 0.}\end{array}} \right.} \right.\) б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[ {1;\;\sqrt 5 } \right].\) Так как \(1 < 2 = \sqrt 4 < \sqrt 5 ,\) то \(x = 2 \in \left[ {1;\;\sqrt 5 } \right].\) \(x = 0 \notin \left[ {1;\;\sqrt 5 } \right].\) Ответ: а) \(0;\;\;\;\;2;\) б) \(2.\)